Номер 25, страница 305 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

К § 25 «Сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии»

В § 23 вы создали таблицу, которая строит арифметическую прогрессию с заданными $a_1$ и $d$. Дополните эту таблицу четвёртым столбцом, который содержит значение $k$-го члена геометрической прогрессии, у которой $b_1 = a_1, q = d$, и пятым столбцом, который содержит сумму $k$ первых членов этой геометрической прогрессии. Постройте график на основании этой таблицы.

Исследуйте поведение этих арифметической и геометрической прогрессий для различных значений $a_1$ и $d$.

Задача состоит в том, чтобы расширить существующую таблицу для арифметической прогрессии, добавив столбцы для соответствующей геометрической прогрессии, а затем исследовать и сравнить поведение обеих прогрессий при различных начальных условиях.

Пусть дана арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d$. Тогда её $k$-й член вычисляется по формуле:

$a_k = a_1 + (k-1)d$

Сумма первых $k$ членов арифметической прогрессии:

$S_k^{\text{арифм}} = \frac{2a_1 + (k-1)d}{2} \cdot k$

По условию задачи, мы рассматриваем геометрическую прогрессию, у которой первый член $b_1 = a_1$, а знаменатель $q = d$. Тогда её $k$-й член вычисляется по формуле:

$b_k = b_1 \cdot q^{k-1} = a_1 \cdot d^{k-1}$

Сумма первых $k$ членов геометрической прогрессии (при $d \neq 1$):

$S_k^{\text{геом}} = b_1 \frac{q^k - 1}{q - 1} = a_1 \frac{d^k - 1}{d - 1}$

Если $d=1$, то $S_k^{\text{геом}} = k \cdot b_1 = k \cdot a_1$.

Дополнение таблицы

Изначальная таблица для арифметической прогрессии (из § 23), вероятно, содержала столбцы "Номер члена (k)" и "Член прогрессии ($a_k$)". Мы дополним её тремя столбцами: "Сумма арифм. прогрессии ($S_k^{\text{арифм}}$)", "Член геом. прогрессии ($b_k$)" и "Сумма геом. прогрессии ($S_k^{\text{геом}}$)".

Общий вид дополненной таблицы:

Конкретные значения в таблице будут зависеть от выбранных $a_1$ и $d$.

Ответ: Таблица дополнена столбцами для $k$-го члена геометрической прогрессии ($b_k = a_1 d^{k-1}$) и суммы её первых $k$ членов ($S_k^{\text{геом}} = a_1 (d^k - 1)/(d-1)$), которые вычисляются на основе параметров $a_1$ и $d$ исходной арифметической прогрессии.

Исследование поведения этих арифметической и геометрической прогрессий

Поведение прогрессий кардинально зависит от значения $d$ (которое также является знаменателем $q$). Проанализируем основные случаи, для простоты взяв $a_1 > 0$.

1. Случай: $d > 1$ (например, $a_1=2, d=2$)

Арифметическая прогрессия ($a_k = 2 + (k-1)2 = 2k$) растёт линейно. Геометрическая прогрессия ($b_k = 2 \cdot 2^{k-1} = 2^k$) растёт экспоненциально. Уже после нескольких шагов ($k>2$) геометрическая прогрессия начинает значительно опережать в росте арифметическую. Обе прогрессии неограниченно возрастают.

Ответ: При $d>1$ геометрическая прогрессия растёт значительно быстрее арифметической. Обе прогрессии расходятся к $+\infty$ (если $a_1>0$).

2. Случай: $d = 1$ (например, $a_1=5, d=1$)

Арифметическая прогрессия ($a_k = 5 + (k-1)1 = k+4$) является возрастающей последовательностью. Геометрическая прогрессия ($b_k = 5 \cdot 1^{k-1} = 5$) является постоянной (стационарной) последовательностью.

Ответ: При $d=1$ арифметическая прогрессия линейно возрастает, а геометрическая остаётся постоянной.

3. Случай: $0 < d < 1$ (например, $a_1=16, d=0.5$)

Арифметическая прогрессия ($a_k = 16 + (k-1)0.5 = 15.5+0.5k$) медленно возрастает. Геометрическая прогрессия ($b_k = 16 \cdot (0.5)^{k-1}$) убывает, стремясь к нулю. Сумма геометрической прогрессии сходится к конечному пределу $S = \frac{a_1}{1-d} = \frac{16}{1-0.5} = 32$.

Ответ: При $0<d<1$ арифметическая прогрессия неограниченно возрастает, а геометрическая — убывает и сходится к нулю.

4. Случай: $d = 0$ (например, $a_1=3, d=0$)

Арифметическая прогрессия ($a_k = 3$) является постоянной. Геометрическая прогрессия ($b_1=3, b_k=0$ для $k>1$) равна первому члену, а все последующие равны нулю. Сумма геометрической прогрессии равна $a_1$ для любого $k \ge 1$.

Ответ: При $d=0$ арифметическая прогрессия постоянна, а геометрическая состоит из первого члена $a_1$ и последующих нулей.

5. Случай: $-1 < d < 0$ (например, $a_1=8, d=-0.5$)

Арифметическая прогрессия ($a_k = 8 + (k-1)(-0.5) = 8.5-0.5k$) линейно убывает. Геометрическая прогрессия ($b_k = 8 \cdot (-0.5)^{k-1}$) является знакопеременной, её члены по модулю стремятся к нулю. Она сходится к нулю. Сумма геометрической прогрессии также сходится к конечному пределу $S = \frac{a_1}{1-d} = \frac{8}{1.5} \approx 5.33$.

Ответ: При $-1<d<0$ арифметическая прогрессия неограниченно убывает, а геометрическая является знакочередующейся и сходится к нулю.

6. Случай: $d = -1$ (например, $a_1=4, d=-1$)

Арифметическая прогрессия ($a_k = 4 + (k-1)(-1) = 5-k$) линейно убывает. Геометрическая прогрессия ($b_k = 4 \cdot (-1)^{k-1}$) является колеблющейся (4, -4, 4, ...). Она не сходится. Сумма геометрической прогрессии также колеблется (4, 0, 4, 0, ...).

Ответ: При $d=-1$ арифметическая прогрессия неограниченно убывает, а геометрическая колеблется между двумя значениями ($a_1$ и $-a_1$) и не имеет предела.

7. Случай: $d < -1$ (например, $a_1=1, d=-2$)

Арифметическая прогрессия ($a_k = 1 + (k-1)(-2) = 3-2k$) линейно убывает. Геометрическая прогрессия ($b_k = 1 \cdot (-2)^{k-1}$) является знакопеременной, а её модуль неограниченно растёт. Такая прогрессия расходится.

Ответ: При $d<-1$ арифметическая прогрессия неограниченно убывает, а геометрическая является знакочередующейся, и её модуль неограниченно возрастает (прогрессия расходится).

Примечание: Если $a_1 < 0$, то знаки всех членов обеих прогрессий и направление роста/убывания меняются на противоположные, но качественное поведение (линейность, экспоненциальность, сходимость, расходимость) остается тем же.

Построение графика на основании этой таблицы

Для построения графика следует использовать систему координат, где по горизонтальной оси (оси абсцисс) откладывается номер члена $k$, а по вертикальной оси (оси ординат) — значения членов прогрессий $a_k$ и $b_k$. Для каждой прогрессии получится набор точек $(k, a_k)$ и $(k, b_k)$.

• График арифметической прогрессии: Точки $(k, a_k)$ всегда лежат на одной прямой $y = a_1 + (x-1)d$. Это отражает её линейный характер роста или убывания.
• График геометрической прогрессии: Точки $(k, b_k)$ лежат на экспоненциальной кривой $y = a_1 \cdot d^{x-1}$. Её вид зависит от $d$:
  • При $d > 1$: график — точки на быстро растущей вверх кривой (при $a_1>0$).
  • При $0 < d < 1$: график — точки на кривой, плавно приближающейся к оси абсцисс.
  • При $-1 < d < 0$: точки "прыгают" поочередно выше и ниже оси абсцисс, с каждым шагом приближаясь к ней.
  • При $d < -1$: точки "прыгают" поочередно выше и ниже оси абсцисс, с каждым шагом удаляясь от неё.

Сравнивая два графика на одной плоскости, можно наглядно увидеть фундаментальное различие между линейным и экспоненциальным поведением.

Ответ: График строится в координатах $(k, y)$, где $k$ — номер члена, а $y$ — его значение. Точки для арифметической прогрессии всегда лежат на прямой, а для геометрической — на экспоненциальной кривой, вид которой определяется значением знаменателя $d$.