Номер 26, страница 305 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

К § 26 «Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше 1»

Постройте таблицу, иллюстрирующую вычисление суммы $n$ первых членов бесконечной геометрической прогрессии, у которой $|q| < 1$.

Постройте соответствующий график.

Рассмотрим бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, то есть такую, у которой модуль знаменателя $q$ меньше 1: $|q| < 1$. Сумма $n$ первых членов такой прогрессии, обозначаемая $S_n$, вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

С увеличением числа членов $n$, значение $q^n$ стремится к нулю (поскольку $|q| < 1$). Это означает, что сумма $S_n$ стремится к некоторому пределу, который и называют суммой бесконечной геометрической прогрессии:

$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{b_1}{1-q}$

Для иллюстрации возьмем конкретный пример геометрической прогрессии. Пусть её первый член $b_1 = 4$, а знаменатель $q = \frac{1}{2}$. Условие $|q| < 1$ выполняется, так как $|\frac{1}{2}| < 1$.

Сумма этой бесконечной прогрессии будет равна:

$S = \frac{4}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8$

Теперь мы можем вычислить частичные суммы $S_n$ для нескольких первых значений $n$ и составить таблицу.

Постройте таблицу, иллюстрирующую вычисление суммы n первых членов бесконечной геометрической прогрессии, у которой |q| < 1.

Для нашего примера ($b_1 = 4$, $q = \frac{1}{2}$), n-й член прогрессии вычисляется как $b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 4 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$. Частичная сумма $S_n = S_{n-1} + b_n$.

Как видно из таблицы, с каждым шагом мы добавляем все меньшее и меньшее число, и частичная сумма $S_n$ все ближе подходит к предельному значению $S=8$, но никогда его не достигает за конечное число шагов.

Ответ: Представлена таблица вычислений для геометрической прогрессии с первым членом $b_1=4$ и знаменателем $q=1/2$, иллюстрирующая, как частичные суммы $S_n$ стремятся к общей сумме прогрессии $S=8$.

Постройте соответствующий график.

На графике по горизонтальной оси (ось абсцисс) отложим количество членов $n$, а по вертикальной оси (ось ординат) — значение частичной суммы $S_n$. Точки на графике будут иметь координаты $(n, S_n)$. Также нанесём на график горизонтальную линию (асимптоту) на уровне $S=8$, к которой будут стремиться точки $(n, S_n)$ при увеличении $n$.

На графике видно, как последовательность частичных сумм (синие точки) с ростом $n$ приближается к своему пределу — сумме бесконечной прогрессии $S=8$ (красная пунктирная линия), но не пересекает её.

Ответ: Представлен график зависимости частичной суммы $S_n$ от числа членов $n$ для геометрической прогрессии с $b_1=4$ и $q=1/2$. График наглядно демонстрирует сходимость последовательности частичных сумм к пределу $S=8$.