Страница 305 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

В табличном редакторе создайте механизм для заполнения ячеек таблицы членами конечной арифметической прогрессии. Как сделать так, чтобы этот механизм можно было использовать для получения арифметической прогрессии с любыми значениями $a_1$ и $d$?

В табличном редакторе создайте механизм для заполнения ячеек таблицы членами конечной арифметической прогрессии.

Для создания такого механизма в любом табличном редакторе (например, Microsoft Excel, Google Sheets или LibreOffice Calc) используется рекуррентная формула арифметической прогрессии $a_n = a_{n-1} + d$ и система ссылок на ячейки. Алгоритм действий следующий:

1. Подготовка листа. Отведите ячейки для ввода исходных данных: первого члена прогрессии $a_1$ и разности $d$. Например, в ячейку B1 будем вводить значение $a_1$, а в B2 — значение $d$. Для удобства можно добавить поясняющие надписи в соседние ячейки A1 («Первый член (a₁):») и A2 («Разность (d):»).

2. Задание первого члена. Выберите ячейку, с которой начнется ряд чисел, например, A4. Введите в нее формулу, которая берет значение из ячейки для $a_1$:
=B1

3. Задание рекуррентной формулы. В ячейку ниже, A5, введите формулу для вычисления второго члена. Он равен предыдущему члену (в ячейке A4) плюс разность $d$ (из ячейки B2). Важно использовать абсолютную ссылку на ячейку с разностью, чтобы она не смещалась при копировании.
Формула будет выглядеть так:
=A4+$B$2
Здесь A4 — относительная ссылка, а $B$2 — абсолютная (знаки $ фиксируют строку и столбец).

4. Заполнение ряда. Выделите ячейку A5. Наведите курсор на ее правый нижний угол, чтобы появился маркер автозаполнения (черный крестик). Зажмите левую кнопку мыши и протяните его вниз на нужное количество ячеек. Табличный редактор автоматически заполнит их, вычисляя каждый последующий член прогрессии.

Как сделать так, чтобы этот механизм можно было использовать для получения арифметической прогрессии с любыми значениями $a_1$ и $d$?

Описанный выше механизм является универсальным и позволяет работать с любыми значениями $a_1$ и $d$. Это достигается за счет двух ключевых принципов:

- Вынесение параметров в отдельные ячейки. Значения $a_1$ и $d$ не «зашиты» в формулы, а находятся в специально отведенных для них ячейках (в нашем примере B1 и B2). Чтобы изменить параметры прогрессии, достаточно ввести новые числа в эти ячейки, и вся последовательность автоматически пересчитается.

- Использование абсолютной адресации. В формуле =A4+$B$2 ссылка на разность $d$ ($B$2) является абсолютной. Это гарантирует, что при копировании (протягивании) формулы для всех членов прогрессии будет использоваться одно и то же значение разности из ячейки B2. Если бы ссылка была относительной (B2), то при копировании она бы смещалась (на B3, B4 и т.д.), что привело бы к неверным вычислениям.

Таким образом, комбинация выноса исходных данных и правильного использования типов ссылок (относительных и абсолютных) создает гибкий и переиспользуемый инструмент для генерации любой конечной арифметической прогрессии.

Ответ: Для создания в табличном редакторе универсального механизма генерации арифметической прогрессии с любыми $a_1$ и $d$, необходимо: 1) Выделить отдельные ячейки для ввода значений $a_1$ (например, B1) и $d$ (например, B2). 2) В первую ячейку последовательности (например, A4) ввести формулу =B1. 3) Во вторую ячейку (A5) ввести формулу =A4+$B$2, использующую относительную ссылку на предыдущий член и абсолютную на разность. 4) Размножить формулу из A5 на требуемое число ячеек вниз с помощью маркера автозаполнения. Универсальность достигается тем, что для получения новой прогрессии достаточно изменить значения только в ячейках для ввода параметров (B1 и B2), не меняя сами формулы.

К § 23 «Сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии»

Создайте в табличном редакторе таблицу, первый столбец которой содержит номер $k$ члена арифметической прогрессии, второй — значение данного члена, третий — сумму $k$ первых членов арифметической прогрессии. Максимальное значение $k$ выберите на своё усмотрение. Можете ли вы полностью автоматизировать построение этой таблицы по данным значениям $a_1$ и $d$?

Да, такую таблицу можно создать и полностью автоматизировать в любом табличном редакторе (например, Microsoft Excel, Google Sheets, LibreOffice Calc). Автоматизация достигается за счет использования формул и ссылок на ячейки, где хранятся исходные данные арифметической прогрессии: первый член $a_1$ и разность $d$. Ниже представлено развернутое решение задачи.

Создание таблицы членов и сумм арифметической прогрессии

Рассмотрим пошаговый процесс создания таблицы. В качестве примера возьмем арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 5$ и разностью $d = 3$. Максимальное значение номера члена $k$ выберем равным 20.

Шаг 1: Подготовка листа и ввод исходных данных

Чтобы таблица была автоматизированной, вынесем исходные параметры в отдельные ячейки. Это позволит изменять их в одном месте и мгновенно пересчитывать всю таблицу.

• В ячейку E1 введите текст "Первый член (a₁):", а в ячейку F1 — значение первого члена, то есть 5.
• В ячейку E2 введите текст "Разность (d):", а в ячейку F2 — значение разности, то есть 3.
• Создайте заголовки для столбцов таблицы. В ячейку A1 введите "k (номер члена)", в B1 — "$a_k$ (значение члена)", в C1 — "$S_k$ (сумма k членов)".

Шаг 2: Заполнение столбца с номерами членов (k)

Этот столбец будет содержать последовательные натуральные числа от 1 до 20.

• В ячейку A2 введите число 1.
• В ячейку A3 введите формулу =A2+1.
• Выделите ячейку A3, наведите курсор на ее правый нижний угол (маркер автозаполнения) и протяните его вниз до ячейки A21. В результате столбец заполнится числами от 1 до 20.

Шаг 3: Заполнение столбца со значениями членов прогрессии ($a_k$)

Значение $k$-го члена арифметической прогрессии вычисляется по формуле $a_k = a_1 + (k-1)d$. В табличном редакторе удобнее использовать рекуррентную формулу: $a_k = a_{k-1} + d$.

• Первый член прогрессии $a_1$ равен значению в ячейке F1. Поэтому в ячейку B2 введите формулу: =$F$1. Знаки доллара $ создают абсолютную ссылку, чтобы при копировании формулы она всегда указывала на ячейку F1.
• Для второго члена ($a_2$) и последующих используем рекуррентную формулу. В ячейку B3 введите формулу: =B2+$F$2. Ссылка на B2 (предыдущий член) является относительной, а на $F$2 (разность прогрессии) — абсолютной.
• Протяните формулу из ячейки B3 вниз до ячейки B21 с помощью маркера автозаполнения. Таблица автоматически рассчитает все члены прогрессии.

Шаг 4: Заполнение столбца с суммой первых k членов ($S_k$)

Сумму $S_k$ также удобно вычислять рекуррентно: $S_k = S_{k-1} + a_k$. Сумма первого члена равна самому первому члену: $S_1 = a_1$.

• В ячейку C2 введите формулу =B2, так как $S_1 = a_1$.
• В ячейку C3 введите рекуррентную формулу для суммы: =C2+B3. Эта формула берет сумму предыдущих членов (из C2) и прибавляет к ней текущий член (из B3).
• Протяните формулу из ячейки C3 вниз до ячейки C21.

В результате вы получите полностью готовую таблицу. Если вы измените значения в ячейках F1 (для $a_1$) или F2 (для $d$), все значения в столбцах B и C мгновенно пересчитаются в соответствии с новыми параметрами.

Ответ: Процесс создания таблицы подробно описан в шагах 1-4. Он заключается в настройке ячеек для исходных данных, заполнении столбца с номерами членов и последующем использовании рекуррентных формул с абсолютными ссылками на исходные данные для вычисления членов прогрессии и их сумм.

Можете ли вы полностью автоматизировать построение этой таблицы по данным значениям $a_1$ и $d$?

Да, построение этой таблицы можно полностью автоматизировать. Описанный выше метод как раз и является примером такой автоматизации.

Ключевые элементы, обеспечивающие автоматизацию:

1. Выделенные ячейки для ввода данных: Параметры прогрессии ($a_1$ и $d$) вводятся в отдельные, предназначенные для этого ячейки. Пользователю не нужно редактировать формулы в таблице, достаточно изменить значения в этих двух ячейках.
2. Использование формул с абсолютными ссылками: В формулах для вычислений используются абсолютные ссылки (например, $F$1, $F$2) на ячейки с параметрами $a_1$ и $d$. Это гарантирует, что при копировании (протягивании) формул по столбцу они всегда будут обращаться к правильным исходным данным, а не смещаться.
3. Автоматический пересчет: Табличные редакторы по умолчанию настроены на автоматический пересчет всех зависимых ячеек при изменении данных. Таким образом, любое изменение $a_1$ или $d$ приводит к мгновенному обновлению всей таблицы без каких-либо дополнительных действий со стороны пользователя.

Таким образом, созданная таблица является полностью автоматизированной относительно входных параметров $a_1$ и $d$ для заданного количества членов $k$.

Ответ: Да, построение таблицы можно полностью автоматизировать. Это достигается за счет вынесения исходных данных ($a_1$ и $d$) в отдельные ячейки и использования формул с абсолютными ссылками на эти ячейки для всех вычислений в таблице.

К § 24 «Геометрическая прогрессия»

В табличном редакторе создайте механизм для заполнения ячеек таблицы членами конечной геометрической прогрессии. Как сделать так, чтобы этот механизм можно было использовать для получения геометрической прогрессии с любыми значениями $b_1$ и $q$?

Для создания в табличном редакторе (например, Microsoft Excel или Google Sheets) универсального механизма для генерации членов конечной геометрической прогрессии необходимо выделить ячейки для ввода исходных данных и использовать формулы с абсолютными и относительными ссылками. Это позволит автоматически пересчитывать всю последовательность при изменении первого члена $b_1$ или знаменателя прогрессии $q$.

Вот пошаговая инструкция:

1. Подготовка листа для ввода данных. Чтобы механизм был универсальным, выделим отдельные ячейки для параметров прогрессии.
   • В ячейку A1 введите текстовое описание: Первый член прогрессии (b₁):
   • В ячейку B1 вы будете вводить числовое значение первого члена $b_1$.
   • В ячейку A2 введите текстовое описание: Знаменатель прогрессии (q):
   • В ячейку B2 вы будете вводить числовое значение знаменателя $q$.

   Такая организация позволяет легко изменять параметры, не трогая основные формулы.

2. Ввод первого члена прогрессии. Выберем столбец, где будет располагаться сама прогрессия, например, столбец C.
   В первую ячейку этого столбца, C1, нужно поместить значение первого члена. Для этого введите в нее формулу:
   =B1
   Теперь ячейка C1 всегда будет равна значению, указанному в B1.
3. Создание рекуррентной формулы для следующих членов. Каждый следующий член геометрической прогрессии получается умножением предыдущего на знаменатель $q$. Формула для n-го члена: $b_n = b_{n-1} \cdot q$.
   В ячейку C2 введите формулу для вычисления второго члена:
   =C1*$B$2
   Важный момент: использование знака доллара $ в ссылке $B$2. Это создает абсолютную ссылку на ячейку со знаменателем прогрессии. При копировании этой формулы в другие ячейки ссылка на B2 не будет меняться. Ссылка же на C1 является относительной и при копировании вниз будет автоматически изменяться на C2, C3 и так далее, указывая на предыдущий член прогрессии.
4. Автоматическое заполнение столбца. Теперь, когда формула готова, ее можно "растянуть" для генерации нужного количества членов прогрессии.
   • Выделите ячейку C2.
   • Наведите курсор мыши на маленький квадрат в правом нижнем углу выделенной ячейки (это называется маркер автозаполнения). Курсор примет форму черного креста.
   • Зажмите левую кнопку мыши и протяните маркер вниз по столбцу C на столько ячеек, сколько членов прогрессии вы хотите получить.

   Табличный редактор автоматически скопирует формулу в нижележащие ячейки, корректно изменяя относительные ссылки. Например, в ячейке C3 формула станет =C2*$B$2, в C4 — =C3*$B$2, и так далее.

Теперь, чтобы получить геометрическую прогрессию с любыми другими значениями $b_1$ и $q$, достаточно просто ввести новые числа в ячейки B1 и B2. Все члены прогрессии в столбце C пересчитаются автоматически.

Ответ: Для создания универсального механизма генерации геометрической прогрессии в табличном редакторе необходимо:
1. Выделить две ячейки для ввода исходных данных: первого члена $b_1$ (например, B1) и знаменателя $q$ (например, B2).
2. В ячейку для первого члена прогрессии (например, C1) ввести формулу-ссылку на ячейку с $b_1$: =B1.
3. В следующую ячейку (C2) ввести рекуррентную формулу, умножающую предыдущий член (относительная ссылка C1) на знаменатель $q$ (абсолютная ссылка $B$2): =C1*$B$2.
4. Размножить формулу из ячейки C2 на необходимое количество ячеек вниз с помощью маркера автозаполнения.
Использование абсолютной ссылки (со знаком $) для знаменателя $q$ является ключевым элементом, который позволяет механизму работать для любых вводимых значений $b_1$ и $q$.

К § 25 «Сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии»

В § 23 вы создали таблицу, которая строит арифметическую прогрессию с заданными $a_1$ и $d$. Дополните эту таблицу четвёртым столбцом, который содержит значение $k$-го члена геометрической прогрессии, у которой $b_1 = a_1, q = d$, и пятым столбцом, который содержит сумму $k$ первых членов этой геометрической прогрессии. Постройте график на основании этой таблицы.

Исследуйте поведение этих арифметической и геометрической прогрессий для различных значений $a_1$ и $d$.

Задача состоит в том, чтобы расширить существующую таблицу для арифметической прогрессии, добавив столбцы для соответствующей геометрической прогрессии, а затем исследовать и сравнить поведение обеих прогрессий при различных начальных условиях.

Пусть дана арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d$. Тогда её $k$-й член вычисляется по формуле:

$a_k = a_1 + (k-1)d$

Сумма первых $k$ членов арифметической прогрессии:

$S_k^{\text{арифм}} = \frac{2a_1 + (k-1)d}{2} \cdot k$

По условию задачи, мы рассматриваем геометрическую прогрессию, у которой первый член $b_1 = a_1$, а знаменатель $q = d$. Тогда её $k$-й член вычисляется по формуле:

$b_k = b_1 \cdot q^{k-1} = a_1 \cdot d^{k-1}$

Сумма первых $k$ членов геометрической прогрессии (при $d \neq 1$):

$S_k^{\text{геом}} = b_1 \frac{q^k - 1}{q - 1} = a_1 \frac{d^k - 1}{d - 1}$

Если $d=1$, то $S_k^{\text{геом}} = k \cdot b_1 = k \cdot a_1$.

Дополнение таблицы

Изначальная таблица для арифметической прогрессии (из § 23), вероятно, содержала столбцы "Номер члена (k)" и "Член прогрессии ($a_k$)". Мы дополним её тремя столбцами: "Сумма арифм. прогрессии ($S_k^{\text{арифм}}$)", "Член геом. прогрессии ($b_k$)" и "Сумма геом. прогрессии ($S_k^{\text{геом}}$)".

Общий вид дополненной таблицы:

Конкретные значения в таблице будут зависеть от выбранных $a_1$ и $d$.

Ответ: Таблица дополнена столбцами для $k$-го члена геометрической прогрессии ($b_k = a_1 d^{k-1}$) и суммы её первых $k$ членов ($S_k^{\text{геом}} = a_1 (d^k - 1)/(d-1)$), которые вычисляются на основе параметров $a_1$ и $d$ исходной арифметической прогрессии.

Исследование поведения этих арифметической и геометрической прогрессий

Поведение прогрессий кардинально зависит от значения $d$ (которое также является знаменателем $q$). Проанализируем основные случаи, для простоты взяв $a_1 > 0$.

1. Случай: $d > 1$ (например, $a_1=2, d=2$)

Арифметическая прогрессия ($a_k = 2 + (k-1)2 = 2k$) растёт линейно. Геометрическая прогрессия ($b_k = 2 \cdot 2^{k-1} = 2^k$) растёт экспоненциально. Уже после нескольких шагов ($k>2$) геометрическая прогрессия начинает значительно опережать в росте арифметическую. Обе прогрессии неограниченно возрастают.

Ответ: При $d>1$ геометрическая прогрессия растёт значительно быстрее арифметической. Обе прогрессии расходятся к $+\infty$ (если $a_1>0$).

2. Случай: $d = 1$ (например, $a_1=5, d=1$)

Арифметическая прогрессия ($a_k = 5 + (k-1)1 = k+4$) является возрастающей последовательностью. Геометрическая прогрессия ($b_k = 5 \cdot 1^{k-1} = 5$) является постоянной (стационарной) последовательностью.

Ответ: При $d=1$ арифметическая прогрессия линейно возрастает, а геометрическая остаётся постоянной.

3. Случай: $0 < d < 1$ (например, $a_1=16, d=0.5$)

Арифметическая прогрессия ($a_k = 16 + (k-1)0.5 = 15.5+0.5k$) медленно возрастает. Геометрическая прогрессия ($b_k = 16 \cdot (0.5)^{k-1}$) убывает, стремясь к нулю. Сумма геометрической прогрессии сходится к конечному пределу $S = \frac{a_1}{1-d} = \frac{16}{1-0.5} = 32$.

Ответ: При $0<d<1$ арифметическая прогрессия неограниченно возрастает, а геометрическая — убывает и сходится к нулю.

4. Случай: $d = 0$ (например, $a_1=3, d=0$)

Арифметическая прогрессия ($a_k = 3$) является постоянной. Геометрическая прогрессия ($b_1=3, b_k=0$ для $k>1$) равна первому члену, а все последующие равны нулю. Сумма геометрической прогрессии равна $a_1$ для любого $k \ge 1$.

Ответ: При $d=0$ арифметическая прогрессия постоянна, а геометрическая состоит из первого члена $a_1$ и последующих нулей.

5. Случай: $-1 < d < 0$ (например, $a_1=8, d=-0.5$)

Арифметическая прогрессия ($a_k = 8 + (k-1)(-0.5) = 8.5-0.5k$) линейно убывает. Геометрическая прогрессия ($b_k = 8 \cdot (-0.5)^{k-1}$) является знакопеременной, её члены по модулю стремятся к нулю. Она сходится к нулю. Сумма геометрической прогрессии также сходится к конечному пределу $S = \frac{a_1}{1-d} = \frac{8}{1.5} \approx 5.33$.

Ответ: При $-1<d<0$ арифметическая прогрессия неограниченно убывает, а геометрическая является знакочередующейся и сходится к нулю.

6. Случай: $d = -1$ (например, $a_1=4, d=-1$)

Арифметическая прогрессия ($a_k = 4 + (k-1)(-1) = 5-k$) линейно убывает. Геометрическая прогрессия ($b_k = 4 \cdot (-1)^{k-1}$) является колеблющейся (4, -4, 4, ...). Она не сходится. Сумма геометрической прогрессии также колеблется (4, 0, 4, 0, ...).

Ответ: При $d=-1$ арифметическая прогрессия неограниченно убывает, а геометрическая колеблется между двумя значениями ($a_1$ и $-a_1$) и не имеет предела.

7. Случай: $d < -1$ (например, $a_1=1, d=-2$)

Арифметическая прогрессия ($a_k = 1 + (k-1)(-2) = 3-2k$) линейно убывает. Геометрическая прогрессия ($b_k = 1 \cdot (-2)^{k-1}$) является знакопеременной, а её модуль неограниченно растёт. Такая прогрессия расходится.

Ответ: При $d<-1$ арифметическая прогрессия неограниченно убывает, а геометрическая является знакочередующейся, и её модуль неограниченно возрастает (прогрессия расходится).

Примечание: Если $a_1 < 0$, то знаки всех членов обеих прогрессий и направление роста/убывания меняются на противоположные, но качественное поведение (линейность, экспоненциальность, сходимость, расходимость) остается тем же.

Построение графика на основании этой таблицы

Для построения графика следует использовать систему координат, где по горизонтальной оси (оси абсцисс) откладывается номер члена $k$, а по вертикальной оси (оси ординат) — значения членов прогрессий $a_k$ и $b_k$. Для каждой прогрессии получится набор точек $(k, a_k)$ и $(k, b_k)$.

• График арифметической прогрессии: Точки $(k, a_k)$ всегда лежат на одной прямой $y = a_1 + (x-1)d$. Это отражает её линейный характер роста или убывания.
• График геометрической прогрессии: Точки $(k, b_k)$ лежат на экспоненциальной кривой $y = a_1 \cdot d^{x-1}$. Её вид зависит от $d$:
  • При $d > 1$: график — точки на быстро растущей вверх кривой (при $a_1>0$).
  • При $0 < d < 1$: график — точки на кривой, плавно приближающейся к оси абсцисс.
  • При $-1 < d < 0$: точки "прыгают" поочередно выше и ниже оси абсцисс, с каждым шагом приближаясь к ней.
  • При $d < -1$: точки "прыгают" поочередно выше и ниже оси абсцисс, с каждым шагом удаляясь от неё.

Сравнивая два графика на одной плоскости, можно наглядно увидеть фундаментальное различие между линейным и экспоненциальным поведением.

Ответ: График строится в координатах $(k, y)$, где $k$ — номер члена, а $y$ — его значение. Точки для арифметической прогрессии всегда лежат на прямой, а для геометрической — на экспоненциальной кривой, вид которой определяется значением знаменателя $d$.

К § 26 «Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше 1»

Постройте таблицу, иллюстрирующую вычисление суммы $n$ первых членов бесконечной геометрической прогрессии, у которой $|q| < 1$.

Постройте соответствующий график.

Рассмотрим бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, то есть такую, у которой модуль знаменателя $q$ меньше 1: $|q| < 1$. Сумма $n$ первых членов такой прогрессии, обозначаемая $S_n$, вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

С увеличением числа членов $n$, значение $q^n$ стремится к нулю (поскольку $|q| < 1$). Это означает, что сумма $S_n$ стремится к некоторому пределу, который и называют суммой бесконечной геометрической прогрессии:

$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{b_1}{1-q}$

Для иллюстрации возьмем конкретный пример геометрической прогрессии. Пусть её первый член $b_1 = 4$, а знаменатель $q = \frac{1}{2}$. Условие $|q| < 1$ выполняется, так как $|\frac{1}{2}| < 1$.

Сумма этой бесконечной прогрессии будет равна:

$S = \frac{4}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8$

Теперь мы можем вычислить частичные суммы $S_n$ для нескольких первых значений $n$ и составить таблицу.

Постройте таблицу, иллюстрирующую вычисление суммы n первых членов бесконечной геометрической прогрессии, у которой |q| < 1.

Для нашего примера ($b_1 = 4$, $q = \frac{1}{2}$), n-й член прогрессии вычисляется как $b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 4 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$. Частичная сумма $S_n = S_{n-1} + b_n$.

Как видно из таблицы, с каждым шагом мы добавляем все меньшее и меньшее число, и частичная сумма $S_n$ все ближе подходит к предельному значению $S=8$, но никогда его не достигает за конечное число шагов.

Ответ: Представлена таблица вычислений для геометрической прогрессии с первым членом $b_1=4$ и знаменателем $q=1/2$, иллюстрирующая, как частичные суммы $S_n$ стремятся к общей сумме прогрессии $S=8$.

Постройте соответствующий график.

На графике по горизонтальной оси (ось абсцисс) отложим количество членов $n$, а по вертикальной оси (ось ординат) — значение частичной суммы $S_n$. Точки на графике будут иметь координаты $(n, S_n)$. Также нанесём на график горизонтальную линию (асимптоту) на уровне $S=8$, к которой будут стремиться точки $(n, S_n)$ при увеличении $n$.

На графике видно, как последовательность частичных сумм (синие точки) с ростом $n$ приближается к своему пределу — сумме бесконечной прогрессии $S=8$ (красная пунктирная линия), но не пересекает её.

Ответ: Представлен график зависимости частичной суммы $S_n$ от числа членов $n$ для геометрической прогрессии с $b_1=4$ и $q=1/2$. График наглядно демонстрирует сходимость последовательности частичных сумм к пределу $S=8$.