Страница 304 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

К § 19 «Классическое определение вероятности»

Табличный редактор поможет вам рассматривать все возможные результаты испытаний и отмечать, какие из них являются благоприятными.

Составьте таблицу, в первой колонке которой записаны все возможные результаты, полученные при одновременном подбрасывании двух монет (рис. 94). Отметьте во второй колонке события, которые являются благоприятными согласно условию задачи. Какие инструменты табличного редактора позволят автоматически подсчитать нужную вероятность?

Решите с помощью этой таблицы задачу 654.

Решите аналогичным образом задачи 634, 642, 643, 653, 656.

Какое условие должно выполняться для всех строк таблицы, чтобы этот способ решения давал правильные результаты?

Данный текст описывает применение табличного редактора для решения задач по теории вероятностей с использованием классического определения. Разберем поставленные вопросы по пунктам.

Поскольку условие задачи 654 в тексте отсутствует, решим стандартную задачу для описанного эксперимента (подбрасывание двух монет).

Пример задачи: При одновременном подбрасывании двух идеальных монет найти вероятность того, что выпадет ровно один орёл.

Для решения воспользуемся классическим определением вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов испытания, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию A.

1. Составление таблицы всех возможных результатов.

Пусть "О" — выпадение орла, а "Р" — выпадение решки. При подбрасывании двух монет возможны следующие комбинации (исходы):

• Монета 1: О, Монета 2: О → (О, О)
• Монета 1: О, Монета 2: Р → (О, Р)
• Монета 1: Р, Монета 2: О → (Р, О)
• Монета 1: Р, Монета 2: Р → (Р, Р)

Всего получаем $n = 4$ равновозможных исхода.

2. Определение благоприятных событий и заполнение таблицы.

Событие A, которое нас интересует, — "выпал ровно один орёл". Выберем из списка исходы, которые удовлетворяют этому условию: (О, Р) и (Р, О).

Число благоприятных исходов $m = 2$.

Создадим таблицу, как предложено в задании. Во второй колонке поставим "1", если исход благоприятный, и "0", если нет.

3. Расчет вероятности.

Используя данные из таблицы:

Общее число исходов $n$ — это количество строк в таблице, т.е. 4.

Число благоприятных исходов $m$ — это сумма значений во второй колонке: $0 + 1 + 1 + 0 = 2$.

Вероятность события A: $P(A) = \frac{m}{n} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Ответ: Вероятность того, что выпадет ровно один орёл, равна $\frac{1}{2}$ или $0.5$.

Для автоматического подсчета вероятности в табличном редакторе (например, MS Excel, Google Sheets, LibreOffice Calc) можно использовать следующие инструменты и функции:

1. Подсчет общего числа исходов (n): Функция СЧЁТЗ (COUNTA) позволяет подсчитать количество непустых ячеек в диапазоне. Применив её к первому столбцу с исходами, мы автоматически получим $n$. Например, если исходы в ячейках A2:A5, формула будет =СЧЁТЗ(A2:A5).
2. Подсчет числа благоприятных исходов (m): Если, как в таблице выше, отмечать благоприятные исходы единицами, а неблагоприятные — нулями, то для нахождения $m$ достаточно использовать функцию СУММ (SUM). Применив её ко второму столбцу, мы получим сумму всех единиц, что и равно числу благоприятных исходов. Например, для ячеек B2:B5 формула будет =СУММ(B2:B5). Если же использовать текстовые отметки (например, "да"/"нет"), то подойдет функция СЧЁТЕСЛИ (COUNTIF), например: =СЧЁТЕСЛИ(B2:B5; "да").
3. Вычисление вероятности (P): В отдельной ячейке можно записать простую математическую формулу, которая делит результат второй операции на результат первой. Например: =B6/A6, где в B6 находится сумма благоприятных исходов, а в A6 — общее их число.

Ответ: Для автоматического подсчета вероятности используются функции подсчета ячеек (например, СЧЁТЗ для $n$), функции условного подсчета или суммирования (СЧЁТЕСЛИ или СУММ для $m$) и простые арифметические формулы для вычисления итогового отношения $\frac{m}{n}$.

Данный пункт является указанием к действию, а не вопросом. Так как условия этих задач не приведены, дать конкретное решение невозможно. Однако можно описать общий алгоритм решения, который будет аналогичен разобранному выше примеру.

Алгоритм решения:

1. Внимательно прочитать условие задачи, чтобы понять, в чем заключается случайный эксперимент и какое событие необходимо проанализировать.
2. Составить полный перечень всех возможных и равновероятных элементарных исходов эксперимента. Это будет первый столбец таблицы.
3. Подсчитать общее количество этих исходов $n$ (количество строк).
4. Определить, какие из перечисленных исходов являются благоприятными для события, указанного в задаче.
5. Заполнить второй столбец таблицы, отмечая благоприятные исходы (например, цифрой 1).
6. Подсчитать общее количество благоприятных исходов $m$ (сумма по второму столбцу).
7. Вычислить вероятность как отношение $P = \frac{m}{n}$.

Этот метод применим для всех задач, где можно перечислить все равновозможные элементарные исходы.

Ответ: Задачи решаются по общему алгоритму: составление полного списка равновероятных исходов ($n$), определение благоприятных из них ($m$) и нахождение вероятности по формуле $P = \frac{m}{n}$ с помощью таблицы.

Ключевое условие, которое должно выполняться для всех строк таблицы (т.е. для всех элементарных исходов, перечисленных в первом столбце), заключается в том, что все эти исходы должны быть равновероятными (или, как еще говорят, равновозможными).

Классическое определение вероятности $P(A) = \frac{m}{n}$ работает только тогда, когда каждый из $n$ элементарных исходов имеет одинаковый шанс произойти. Если некоторые исходы более вероятны, чем другие (например, если используется "нечестная" монета, которая выпадает орлом в 80% случаев), то простой подсчет количества исходов и их деление приведет к неверному результату. В таком случае каждому исходу нужно было бы присваивать свой "вес" (вероятность), и расчеты бы усложнились.

Таким образом, метод составления таблицы и простого подсчета строк работает корректно только при выполнении этого фундаментального условия.

Ответ: Все исходы (строки таблицы), перечисленные в первом столбце, должны быть равновероятными (равновозможными).

К § 20 «Начальные сведения о статистике»

Освойте различные способы оформления диаграмм.

Найдите в Интернете интересные данные о городе, области, географическом районе, в котором вы живёте, и оформите их в виде диаграмм.

Научитесь с помощью табличного редактора вычислять меры центральной тенденции выборки. Можете ли вы полностью автоматизировать эту работу с помощью инструментов табличного редактора?

Выполните задания 666, 667, 677, 678, 681, 682, 685 с помощью компьютера.

Освойте различные способы оформления диаграмм.

Диаграммы — это мощный инструмент для визуализации данных, который помогает лучше понимать информацию, выявлять тенденции и сравнивать значения. Современные табличные редакторы, такие как Microsoft Excel или Google Sheets, предлагают широкий выбор диаграмм. Рассмотрим основные из них.

• Столбчатая диаграмма (гистограмма): Используется для сравнения значений по разным категориям. Каждая категория представлена столбцом, высота которого пропорциональна значению. Идеально подходит для сравнения, например, численности населения в разных городах или объемов продаж по месяцам.
• Круговая диаграмма: Показывает долю каждой категории в общем объеме. Весь круг представляет 100%, а сектора — процентные доли отдельных компонентов. Удобна для демонстрации структуры чего-либо (например, распределение голосов на выборах), но неэффективна, если категорий много (более 5-7).
• Линейный график: Наилучшим образом подходит для отслеживания изменений данных за определенный период времени. Точки на графике соединяются линиями, что наглядно показывает динамику (например, изменение средней температуры по месяцам или курс валюты в течение года).
• Диаграмма с областями: Похожа на линейный график, но область под линией закрашена. Это помогает не только увидеть динамику, но и оценить вклад каждого ряда в общую сумму.
• Точечная диаграмма (диаграмма рассеяния): Используется для определения зависимости между двумя числовыми переменными. Каждая пара значений отображается как точка на координатной плоскости. Помогает выявить корреляцию между данными.

Для создания диаграммы в табличном редакторе обычно достаточно выделить диапазон с данными, перейти во вкладку «Вставка» и выбрать подходящий тип диаграммы. Редактор автоматически построит визуализацию, которую затем можно настроить: изменить цвета, добавить подписи данных, заголовки осей и название диаграммы.

Ответ: Для визуализации данных можно использовать различные типы диаграмм: столбчатые для сравнения категорий, круговые для отображения долей, линейные для отслеживания динамики во времени. Их создание в табличных редакторах автоматизировано и позволяет гибкую настройку внешнего вида.

Найдите в Интернете интересные данные о городе, области, географическом районе, в котором вы живёте, и оформите их в виде диаграмм.

В качестве примера возьмем данные о средней месячной температуре в городе Москва. Данные можно найти на сайтах метеорологических служб. Создадим таблицу с этими данными.

На основе этих данных можно построить несколько видов диаграмм в табличном редакторе (например, Excel):

1. Создание линейного графика. Этот тип диаграммы идеально подходит для отображения изменения температуры во времени.
   • Введите данные в два столбца.
   • Выделите оба столбца.
   • Перейдите в меню «Вставка» → «График» и выберите «Линейный график с маркерами».
   • На диаграмме получится кривая, показывающая, как растет температура с зимы к лету и затем падает к следующей зиме. Горизонтальная ось будет представлять месяцы, а вертикальная — температуру.
2. Создание столбчатой диаграммы. Она также подойдет для наглядного сравнения температур по месяцам.
   • Выполните те же шаги, что и для линейного графика, но на шаге 3 выберите «Гистограмма» или «Столбчатая диаграмма».
   • Вы получите диаграмму, где каждый месяц представлен столбцом, высота которого соответствует средней температуре. Это позволит легко определить самый теплый и самый холодный месяцы.

Круговая диаграмма для этих данных не подходит, так как они не являются частями единого целого.

Ответ: В качестве примера были найдены данные о средней месячной температуре в Москве. Эти данные представлены в виде таблицы, и на их основе описан процесс создания линейного графика и столбчатой диаграммы для наглядной визуализации температурных колебаний в течение года.

Научитесь с помощью табличного редактора вычислять меры центральной тенденции выборки. Можете ли вы полностью автоматизировать эту работу с помощью инструментов табличного редактора?

Меры центральной тенденции — это числовые характеристики, которые описывают «центральное» или «типичное» значение в наборе данных. Основные меры — это среднее арифметическое, медиана и мода.

Вычисление мер центральной тенденции в табличном редакторе:

Рассмотрим на примере набора данных — оценки учеников за контрольную работу: 5, 4, 4, 3, 5, 2, 4, 3, 5, 5.

1. Введите эти данные в один столбец табличного редактора, например, в диапазон ячеек A1:A10.
2. Для вычисления мер центральной тенденции используйте встроенные функции:
   • Среднее арифметическое (сумма всех значений, деленная на их количество): В свободной ячейке (например, C1) введите формулу =СРЗНАЧ(A1:A10) (в англоязычной версии — =AVERAGE(A1:A10)).
     Математическая формула: $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
   • Медиана (значение, которое находится в середине упорядоченного набора данных): В ячейке C2 введите формулу =МЕДИАНА(A1:A10) (в англоязычной версии — =MEDIAN(A1:A10)).
   • Мода (наиболее часто встречающееся значение в наборе данных): В ячейке C3 введите формулу =МОДА.ОДН(A1:A10) (в англоязычной версии — =MODE.SNGL(A1:A10)).
3. После ввода формул редактор автоматически вычислит результаты:
   • Среднее арифметическое: $(5+4+4+3+5+2+4+3+5+5) / 10 = 40 / 10 = 4.0$
   • Медиана: для набора 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5 средними являются два значения: 4 и 4. Медиана равна $(4+4)/2 = 4$.
   • Мода: значение 5 встречается 4 раза, чаще других. Мода равна 5.

Автоматизация вычислений:

На вопрос «Можете ли вы полностью автоматизировать эту работу?» ответ — да.

Использование формул в табличном редакторе и есть автоматизация. Когда вы вводите формулу, например =СРЗНАЧ(A1:A10), вы создаете динамическую связь между ячейкой с формулой и диапазоном данных A1:A10. Если вы измените любое значение в этом диапазоне (например, исправите оценку "2" на "4"), результат в ячейке с формулой обновится мгновенно и автоматически, без необходимости пересчитывать что-либо вручную. Таким образом, один раз настроив лист с формулами, вы можете многократно использовать его, просто обновляя исходные данные.

Ответ: Меры центральной тенденции (среднее, медиана, мода) можно легко вычислить в табличном редакторе с помощью встроенных функций СРЗНАЧ, МЕДИАНА и МОДА.ОДН. Эту работу можно полностью автоматизировать: благодаря формулам любые изменения в исходных данных будут автоматически приводить к пересчету всех связанных с ними результатов.

К § 21 «Числовые последовательности»

В табличном редакторе можно заполнять ячейки таблицы членами последовательности, заданной с помощью формулы $n$-го члена последовательности и с помощью рекуррентной формулы. Освойте эти способы заполнения таблицы.

Примечание. Очевидно, что таким способом можно сформировать только конечную последовательность.

Используйте эти способы для выполнения некоторых заданий этого параграфа по вашему выбору.

В данном задании предлагается освоить два основных способа генерации числовых последовательностей в табличных редакторах, таких как Microsoft Excel, Google Sheets или LibreOffice Calc. Ниже представлены подробные инструкции с примерами для каждого способа.

Этот метод применяется, когда дана явная формула, позволяющая вычислить любой член последовательности $a_n$ по его порядковому номеру $n$.

Пример: Сформировать таблицу для первых 10 членов последовательности, заданной формулой $a_n = 2n^2 - 1$.

Пошаговая инструкция:

1. Подготовьте таблицу. В столбец A будем вносить номера членов ($n$), а в столбец B — их значения ($a_n$). Можно добавить заголовки в ячейки A1 и B1.
2. Заполните столбец A номерами от 1 до 10. Для этого введите 1 в ячейку A2, 2 в ячейку A3, выделите обе ячейки и протяните маркер автозаполнения (маленький квадрат в правом нижнем углу выделения) вниз до ячейки A11.
3. В ячейку B2 введите формулу для вычисления $a_1$. Поскольку номер $n$ для этого члена находится в ячейке A2, формула будет выглядеть так: =2*A2^2-1. После нажатия Enter в ячейке B2 появится результат: $2 \cdot 1^2 - 1 = 1$.
4. Теперь скопируйте эту формулу для остальных членов. Выделите ячейку B2, наведите курсор на маркер автозаполнения и протяните его вниз до ячейки B11.
5. Табличный редактор автоматически подставит в формулу для каждой строки соответствующую ячейку из столбца A (A3, A4, A5 и т.д.). В результате столбец B заполнится значениями первых 10 членов последовательности.

Таблица результатов:

Ответ: Чтобы сгенерировать последовательность по формуле n-го члена, необходимо в ячейку для первого вычисляемого члена ввести формулу, которая ссылается на ячейку с его номером $n$. Затем эта формула копируется (протягивается) на нужный диапазон ячеек, при этом ссылки на номер $n$ автоматически обновляются для каждой строки.

Этот метод используется, когда следующий член последовательности $a_n$ определяется через один или несколько предыдущих членов ($a_{n-1}$, $a_{n-2}$ и т.д.). Для вычислений необходимо задать начальные члены последовательности.

Пример: Сформировать таблицу для первых 10 членов последовательности чисел Фибоначчи, заданной рекуррентно: $a_1 = 1, a_2 = 1, a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ при $n > 2$.

Пошаговая инструкция:

1. Как и в предыдущем примере, используйте столбец A для номеров $n$ и столбец B для значений $a_n$. Заполните столбец A числами от 1 до 10.
2. Задайте первые члены последовательности вручную, так как они не могут быть вычислены по формуле. В ячейку B2 введите значение $a_1$: 1. В ячейку B3 введите значение $a_2$: 1.
3. Теперь можно ввести рекуррентную формулу. Третий член $a_3$ находится в ячейке B4 и равен сумме двух предыдущих ($a_2 + a_1$), которые находятся в ячейках B3 и B2. Введите в ячейку B4 формулу: =B3+B2. Нажмите Enter, в ячейке появится результат: $1+1=2$.
4. Выделите ячейку B4 и протяните маркер автозаполнения вниз до ячейки B11.
5. Табличный редактор скопирует формулу с относительными ссылками: в ячейке B5 формула станет =B4+B3, в B6 — =B5+B4 и так далее, вычисляя каждый последующий член как сумму двух предыдущих.

Таблица результатов:

Ответ: Чтобы сгенерировать последовательность по рекуррентной формуле, необходимо вручную ввести начальные члены. Затем в ячейку для первого вычисляемого члена вводится формула, ссылающаяся на ячейки с предыдущими членами. Эта формула копируется (протягивается) на последующие ячейки.