Страница 303 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

К § 14 «Математическое моделирование»

Проанализируйте задачи этого параграфа. Опишите каждую из них в наиболее общем виде. Найдите те из них, которые имеют одинаковые математические модели. Запишите алгоритм для решения каждой задачи в общем виде, опишите, что является входными и выходными данными для этого алгоритма.

Поскольку конкретные задачи из § 14 «Математическое моделирование» не предоставлены, в данном решении будет проведён анализ трёх распространённых типов задач, которые часто встречаются в подобных разделах. Для каждого типа задач будет выполнено требуемое в условии: описание в общем виде, построение математической модели, составление алгоритма решения, определение входных и выходных данных, а также сравнение моделей.

Задача 1: Задача на движение навстречу

Описание в наиболее общем виде: Два материальных объекта начинают одновременное движение навстречу друг другу из двух различных точек. Известны постоянные скорости обоих объектов и начальное расстояние между ними. Требуется определить промежуток времени, через который объекты встретятся.

Математическая модель: Пусть $S$ — начальное расстояние между объектами (в единицах длины), $v_1$ и $v_2$ — их скорости (в единицах длины за единицу времени). Пусть $t$ — искомое время до встречи. За время $t$ первый объект пройдёт расстояние $S_1 = v_1 \cdot t$, а второй — $S_2 = v_2 \cdot t$. В момент встречи сумма пройденных ими расстояний будет равна начальному расстоянию: $S_1 + S_2 = S$
Подставляя выражения для $S_1$ и $S_2$, получаем математическую модель в виде линейного уравнения относительно $t$: $v_1 t + v_2 t = S$
Вынеся $t$ за скобки, получаем: $(v_1 + v_2) t = S$
Величина $v_{сбл} = v_1 + v_2$ называется скоростью сближения. Итоговая формула для нахождения времени: $t = \frac{S}{v_1 + v_2}$.

Алгоритм решения, входные и выходные данные:
Алгоритм:
1. Ввести значения входных данных: скорость первого объекта $v_1$, скорость второго объекта $v_2$, начальное расстояние $S$.
2. Проверить корректность данных: $v_1 > 0, v_2 > 0, S > 0$.
3. Вычислить скорость сближения по формуле: $v_{сбл} = v_1 + v_2$.
4. Вычислить время до встречи по формуле: $t = S / v_{сбл}$.
5. Вывести полученное значение $t$.
Входные данные: Три положительных вещественных числа: $v_1$ (скорость первого объекта), $v_2$ (скорость второго объекта), $S$ (начальное расстояние).
Выходные данные: Одно положительное вещественное число: $t$ (время до встречи).

Ответ: Общий вид задачи — нахождение времени встречи двух объектов, движущихся навстречу с постоянными скоростями. Математическая модель: $t = S / (v_1 + v_2)$. Алгоритм состоит в последовательном вычислении скорости сближения и времени по данной формуле. Входными данными являются скорости $v_1, v_2$ и расстояние $S$, выходными — время $t$.

Задача 2: Задача на совместную работу

Описание в наиболее общем виде: Два исполнителя (например, рабочие, насосы, принтеры) могут выполнить некоторый фиксированный объем работы, действуя поодиночке. Известно время, которое требуется каждому исполнителю на выполнение всего объема работы. Требуется определить, за какое время они выполнят этот же объем работы, действуя одновременно и независимо.

Математическая модель: Примем весь объем работы $A$ за условную единицу ($A=1$). Пусть $T_1$ и $T_2$ — время, за которое каждый исполнитель выполняет всю работу в одиночку. Тогда их производительность (скорость выполнения работы) равна $P_1 = A/T_1 = 1/T_1$ и $P_2 = A/T_2 = 1/T_2$ соответственно. При совместной работе их производительности складываются, так как они работают независимо. Общая производительность: $P_{общ} = P_1 + P_2$. Время $t_{совм}$, необходимое для выполнения работы совместно, находится по формуле: $t_{совм} = \frac{A}{P_{общ}} = \frac{1}{P_1 + P_2}$
Подставив выражения для производительностей, получим итоговую формулу: $t_{совм} = \frac{1}{\frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2}} = \frac{T_1 T_2}{T_1 + T_2}$.

Алгоритм решения, входные и выходные данные:
Алгоритм:
1. Ввести значения входных данных: время работы первого исполнителя $T_1$ и второго $T_2$.
2. Проверить корректность данных: $T_1 > 0, T_2 > 0$.
3. Вычислить производительность каждого исполнителя: $P_1 = 1/T_1$, $P_2 = 1/T_2$.
4. Вычислить общую производительность: $P_{общ} = P_1 + P_2$.
5. Вычислить время совместной работы: $t_{совм} = 1 / P_{общ}$.
6. Вывести полученное значение $t_{совм}$.
Входные данные: Два положительных вещественных числа: $T_1$ (время работы первого исполнителя), $T_2$ (время работы второго исполнителя).
Выходные данные: Одно положительное вещественное число: $t_{совм}$ (время совместной работы).

Ответ: Общий вид задачи — нахождение времени выполнения работы двумя исполнителями совместно. Математическая модель: $t_{совм} = (T_1 T_2) / (T_1 + T_2)$. Алгоритм основан на вычислении производительностей и их сложении. Входные данные — индивидуальные времена $T_1, T_2$, выходные — совместное время $t_{совм}$.

Задача 3: Задача на смеси и сплавы

Описание в наиболее общем виде: Имеются два раствора (сплава) одного и того же вещества с разной концентрацией. Известны массы и концентрации (в долях или процентах) каждого исходного раствора. Их смешивают. Требуется найти концентрацию получившейся смеси.

Математическая модель: Пусть $m_1$ и $m_2$ — массы двух растворов, а $c_1$ и $c_2$ — их концентрации (выраженные в долях, от 0 до 1). Масса чистого (растворённого) вещества в первом растворе равна $m_{в1} = m_1 \cdot c_1$, а во втором — $m_{в2} = m_2 \cdot c_2$. При смешивании массы складываются. Общая масса смеси: $m_{см} = m_1 + m_2$. Общая масса чистого вещества в смеси: $m_{в\_см} = m_{в1} + m_{в2} = m_1 c_1 + m_2 c_2$. Концентрация новой смеси $c_{см}$ по определению есть отношение массы чистого вещества к общей массе смеси. Итоговая формула (взвешенное среднее): $c_{см} = \frac{m_{в\_см}}{m_{см}} = \frac{m_1 c_1 + m_2 c_2}{m_1 + m_2}$.

Алгоритм решения, входные и выходные данные:
Алгоритм:
1. Ввести значения входных данных: масса $m_1$ и концентрация $c_1$ первого раствора; масса $m_2$ и концентрация $c_2$ второго раствора.
2. Проверить корректность данных: $m_1 \ge 0, m_2 \ge 0, 0 \le c_1 \le 1, 0 \le c_2 \le 1$.
3. Вычислить массу чистого вещества в итоговой смеси: $m_{в\_см} = m_1 c_1 + m_2 c_2$.
4. Вычислить общую массу смеси: $m_{см} = m_1 + m_2$.
5. Если $m_{см} > 0$, вычислить концентрацию смеси: $c_{см} = m_{в\_см} / m_{см}$. В противном случае (если обе массы 0), концентрация не определена или равна 0.
6. Вывести полученное значение $c_{см}$.
Входные данные: Четыре вещественных числа: $m_1, c_1, m_2, c_2$.
Выходные данные: Одно вещественное число: $c_{см}$ (концентрация смеси).

Ответ: Общий вид задачи — нахождение концентрации смеси двух растворов. Математическая модель — формула взвешенного среднего: $c_{см} = (m_1 c_1 + m_2 c_2) / (m_1 + m_2)$. Алгоритм сводится к вычислению по этой формуле. Входные данные — массы и концентрации $m_1, c_1, m_2, c_2$, выходные — итоговая концентрация $c_{см}$.

Поиск задач с одинаковыми математическими моделями

При сравнении построенных математических моделей можно обнаружить, что задачи на движение навстречу и задачи на совместную работу имеют одинаковую фундаментальную структуру.

Несмотря на то, что итоговые формулы для расчёта ответа выглядят по-разному ($t = S/(v_1 + v_2)$ и $t_{совм} = (T_1 T_2)/(T_1 + T_2)$), обе модели описывают процесс, в котором для достижения результата складываются "скорости" участников.
- В задаче на движение "объемом", который нужно преодолеть, является расстояние $S$, а "скоростями" — скорости объектов $v_1$ и $v_2$. Общая скорость (скорость сближения) — это сумма $v_1 + v_2$.
- В задаче на работу "объемом" является работа $A=1$, а "скоростями" — производительности $P_1 = 1/T_1$ и $P_2 = 1/T_2$. Общая скорость (производительность) — это сумма $P_1 + P_2$.

Таким образом, обе задачи сводятся к одной и той же абстрактной модели: Время = (Общий объем процесса) / (Сумма скоростей участников).
Задача на смеси и сплавы имеет принципиально иную математическую модель, основанную на концепции взвешенного среднего, а не на сложении скоростей.

Ответ: Задачи на движение навстречу и задачи на совместную работу имеют одинаковые математические модели. Их общая структура основана на принципе сложения скоростей (или производительностей) для нахождения времени завершения процесса.

К § 15 «Процентные расчёты»

Как использовать калькулятор для вычислений по формуле сложных процентов? Решите задачи 523, 524 с помощью калькулятора.

Проанализируйте задачи этого параграфа. Найдите те из них, которые имеют одинаковые математические модели. Создайте список «типовых» задач, связанных с процентными расчётами. Запишите алгоритм для решения каждой задачи в общем виде, опишите, что является входными и выходными данными для этого алгоритма.

Как использовать калькулятор для вычислений по формуле сложных процентов? Решите задачи 523, 524 с помощью калькулятора.

Формула сложных процентов используется для расчёта итоговой суммы с учётом регулярного начисления процентов на основную сумму вместе с уже накопленными процентами. Общая формула выглядит так:

$S_n = S \cdot (1 + \frac{p}{100})^n$

где:

• $S$ — начальная сумма (вклад, стоимость товара и т.д.);

• $p$ — процентная ставка за один период начисления;

• $n$ — количество периодов начисления;

• $S_n$ — итоговая сумма через $n$ периодов.

Алгоритм использования калькулятора:

1. Вычислите десятичное представление процента: $p / 100$.

2. Прибавьте 1 к полученному значению. Это будет множитель роста за один период.

3. Используя кнопку возведения в степень (обычно обозначается как x^y, ^ или y^x), возведите множитель роста в степень $n$.

4. Умножьте начальную сумму $S$ на результат, полученный в предыдущем шаге.

Поскольку условия задач 523 и 524 не предоставлены, приведем типовые примеры и их решения.

Задача 523 (пример): Вкладчик положил в банк 50 000 рублей под 7% годовых с ежегодной капитализацией. Какая сумма будет на счёте через 4 года?

Решение:

В этой задаче: $S = 50000$, $p = 7$, $n = 4$.

Подставляем значения в формулу: $S_4 = 50000 \cdot (1 + \frac{7}{100})^4 = 50000 \cdot (1.07)^4$.

Вычисления на калькуляторе:

1. Набираем 1.07.

2. Нажимаем кнопку возведения в степень (x^y).

3. Набираем 4 и нажимаем "=". Получаем примерно 1.310796.

4. Умножаем результат на 50000: $1.310796 \cdot 50000 = 65539.8$.

Ответ: Через 4 года на счёте будет 65 539,8 рублей.

Задача 524 (пример): Цена на товар, составлявшая 12 000 рублей, ежегодно увеличивается на 15%. Какой будет цена на этот товар через 3 года?

Решение:

Это также задача на сложные проценты. Здесь: $S = 12000$, $p = 15$, $n = 3$.

Подставляем значения в формулу: $S_3 = 12000 \cdot (1 + \frac{15}{100})^3 = 12000 \cdot (1.15)^3$.

Вычисления на калькуляторе:

1. Набираем 1.15.

2. Нажимаем кнопку возведения в степень (x^y).

3. Набираем 3 и нажимаем "=". Получаем 1.520875.

4. Умножаем результат на 12000: $1.520875 \cdot 12000 = 18250.5$.

Ответ: Через 3 года цена на товар составит 18 250,5 рублей.

Проанализируйте задачи этого параграфа. Найдите те из них, которые имеют одинаковые математические модели. Создайте список «типовых» задач, связанных с процентными расчётами. Запишите алгоритм для решения каждой задачи в общем виде, опишите, что является входными и выходными данными для этого алгоритма.

Поскольку текст параграфа недоступен, проанализируем и выделим несколько основных типовых задач на проценты, которые чаще всего встречаются и имеют схожие математические модели.

Тип 1: Нахождение процента от числа

Описание: Найти заданный процент от некоторого числа.

Входные данные: Число $A$ (принимаемое за 100%) и значение процента $p$.

Выходные данные: Число $B$, которое составляет $p$% от $A$.

Алгоритм решения: Чтобы найти $p$% от числа $A$, нужно умножить число $A$ на дробь, соответствующую проценту: $B = A \cdot \frac{p}{100}$.

Пример: Найти 20% от 150. Решение: $150 \cdot \frac{20}{100} = 30$.

Тип 2: Нахождение числа по его проценту

Описание: Найти целое число, если известна его часть, выраженная в процентах.

Входные данные: Число $B$, которое составляет $p$% от искомого числа.

Выходные данные: Исходное число $A$ (100%).

Алгоритм решения: Чтобы найти число $A$ по его части $B$, составляющей $p$%, нужно эту часть разделить на дробь, соответствующую проценту: $A = B / \frac{p}{100} = B \cdot \frac{100}{p}$.

Пример: Найти число, если 30% от него равны 45. Решение: $45 / \frac{30}{100} = 45 \cdot \frac{100}{30} = 150$.

Тип 3: Нахождение процентного отношения двух чисел

Описание: Определить, сколько процентов одно число составляет от другого.

Входные данные: Два числа, $B$ и $A$.

Выходные данные: Процент $p$, который число $B$ составляет от числа $A$.

Алгоритм решения: Чтобы найти, сколько процентов число $B$ составляет от $A$, нужно найти их отношение и умножить на 100: $p = \frac{B}{A} \cdot 100\%$.

Пример: Сколько процентов составляет число 40 от 200? Решение: $\frac{40}{200} \cdot 100\% = 0.2 \cdot 100\% = 20\%$.

Тип 4: Увеличение или уменьшение числа на заданный процент

Описание: Найти новое значение числа после его изменения на $p$ процентов.

Входные данные: Исходное число $A$ и процент изменения $p$.

Выходные данные: Новое число $B$.

Алгоритм решения:

• При увеличении: $B = A + A \cdot \frac{p}{100} = A \cdot (1 + \frac{p}{100})$.

• При уменьшении: $B = A - A \cdot \frac{p}{100} = A \cdot (1 - \frac{p}{100})$.

Пример увеличения: Увеличить число 250 на 10%. Решение: $250 \cdot (1 + \frac{10}{100}) = 250 \cdot 1.1 = 275$.

Пример уменьшения: Уменьшить число 250 на 10%. Решение: $250 \cdot (1 - \frac{10}{100}) = 250 \cdot 0.9 = 225$.

Задачи на сложные проценты (как в задачах 523, 524) являются многократным применением математической модели "увеличение числа на заданный процент".

Ответ: Представлен список из четырех типовых задач на процентные расчеты с описанием их математических моделей, входных/выходных данных и алгоритмов решения.

К § 16 «Абсолютная и относительная погрешности»

Найдите в Интернете какие-либо интересные статистические данные о нашей стране. Какие из этих данных являются точными, а какие — приближёнными? Можно ли по приведённым данным оценить абсолютную погрешность приближения; относительную погрешность? Удалось ли вам найти данные, вместе с которыми приведена погрешность?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся данными из открытых источников, в основном с портала Федеральной службы государственной статистики (Росстат) и других официальных ресурсов.

Найдите в Интернете какие-либо интересные статистические данные о нашей стране.

1. Площадь территории Российской Федерации: 17 125 191 км².

2. Численность постоянного населения Российской Федерации на 1 января 2023 года: 146 424 729 человек.

3. Количество субъектов Российской Федерации на 2023 год: 89.

4. Данные социологического опроса (ВЦИОМ, ноябрь 2023 г.): на вопрос "Доверяете ли Вы Владимиру Путину?" 78,5% респондентов ответили "да". Статистическая погрешность выборки не превышает 1%.

Ответ: Приведены статистические данные о площади, населении, административном делении РФ и результатах социологического опроса.

Какие из этих данных являются точными, а какие – приближёнными?

Разберем каждый пункт:

• Точные данные. К точным данным относится количество субъектов РФ (89). Это целочисленная, конечная величина, установленная законодательно (Конституцией РФ). Она не является результатом измерений или оценок и может измениться только путем внесения поправок в закон, а не в результате уточнения измерений.
• Приближённые данные. К приближённым данным относятся все остальные приведенные значения.
  • Площадь территории (17 125 191 км²) является приближенной. Границы страны, особенно морские, имеют сложную (фрактальную) форму, и их точное измерение невозможно. Результат зависит от метода и масштаба измерений и всегда представляет собой округленное значение.
  • Численность населения (146 424 729 человек) является приближенной. Это оценочное значение. Население страны постоянно меняется из-за рождений, смертей и миграции. Данные получают на основе последней переписи населения и корректируют с помощью данных ЗАГС и миграционных служб, что также вносит погрешность. Для удобства это число часто округляют, например, до 146,4 млн человек.
  • Результаты социологического опроса (78,5%) являются приближенными, так как они получены на основе опроса выборки (небольшой части всего населения), а не всего населения целиком. Результат экстраполируется на всю генеральную совокупность с определенной погрешностью.

Ответ: Точными данными является количество субъектов РФ. Приближенными являются данные о площади, численности населения и результатах социологического опроса.

Можно ли по приведённым данным оценить абсолютную погрешность приближения; относительную погрешность?

Да, можно оценить погрешность, которая возникает, например, при округлении данных. Возьмем данные о численности населения. Часто в СМИ и отчетах используют округленное значение.

Пусть "точное" значение (хотя оно само является оценкой) $x = 146 424 729$ человек. Округлим его до десятых долей миллиона: $a = 146,4$ млн человек, или $a = 146 400 000$ человек.

1. Абсолютная погрешность — это модуль разности между точным и приближённым значением: $\Delta = |x - a|$.

$\Delta = |146 424 729 - 146 400 000| = 24 729$ человек.

Также можно оценить предельную абсолютную погрешность самого округления. При округлении до десятых долей миллиона (до 100 000), предельная погрешность составляет половину этой величины: $100 000 / 2 = 50 000$ человек. Наша реальная погрешность (24 729) меньше этой предельной оценки.

2. Относительная погрешность — это отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения: $\epsilon = \frac{\Delta}{|x|}$. Её часто выражают в процентах.

$\epsilon = \frac{24 729}{146 424 729} \approx 0,00016888$

В процентах это составит: $0,00016888 \times 100\% \approx 0,017\%$.

Относительная погрешность очень мала, что говорит о высокой точности приближения при таком округлении.

Ответ: Да, на примере округления данных о численности населения можно оценить абсолютную погрешность ($\Delta = 24 729$ человек) и относительную погрешность ($\epsilon \approx 0,017\%$).

Удалось ли вам найти данные, вместе с которыми приведена погрешность?

Да, удалось. В пункте 4 приведены данные социологического опроса ВЦИОМ. Для таких данных практически всегда указывается статистическая погрешность.

Данные: Уровень доверия президенту составляет $78,5\%$.

Приведенная погрешность: "Статистическая погрешность выборки не превышает 1%".

Это означает, что абсолютная погрешность измерения составляет не более $1\%$. То есть, если бы мы опросили всё взрослое население России, то "истинный" процент доверяющих с высокой вероятностью (обычно 95%) находился бы в интервале:

$[78,5\% - 1\%; 78,5\% + 1\%] = [77,5\%; 79,5\%]$

Здесь погрешность известна заранее и является неотъемлемой характеристикой самого метода сбора данных (выборочного опроса).

Ответ: Да, удалось найти данные социологического опроса, где погрешность (не более 1%) была явно указана вместе с результатом (78,5%).

К § 17 «Основные правила комбинаторики»

Как можно проиллюстрировать с помощью табличного редактора правило суммы; правило произведения? Выберите задачи из этого параграфа и проиллюстрируйте их.

Табличный редактор, такой как Microsoft Excel или Google Sheets, является удобным инструментом для визуализации и решения комбинаторных задач. Он позволяет наглядно представить все возможные исходы, перечислить их и подсчитать общее количество, что помогает лучше понять основные правила комбинаторики.

Правило суммы

Правило суммы применяется, когда нужно выбрать один объект из нескольких взаимоисключающих наборов. Если объект A можно выбрать $m$ способами, а объект B — $n$ способами, причем выбор A исключает выбор B, то выбрать «либо A, либо B» можно $m + n$ способами.

Задача: В школьной столовой на выбор есть 4 вида пирожков и 3 вида булочек. Сколькими способами можно выбрать одну единицу выпечки?

Иллюстрация в табличном редакторе:

Для иллюстрации можно создать два отдельных списка в разных столбцах.

1. В столбец A внесем все виды пирожков: «С капустой», «С картошкой», «С мясом», «С яблоком».
2. В столбец B внесем все виды булочек: «С маком», «С корицей», «С изюмом».

Поскольку ученик выбирает либо пирожок, либо булочку, эти выборы взаимоисключающие. Чтобы найти общее количество способов, нужно сложить количество элементов в каждом списке. В табличном редакторе можно использовать функцию для подсчета непустых ячеек, например, СЧЁТЗ() (в английской версии — COUNTA()).

Общее число способов = (количество пирожков) + (количество булочек).

В таблице это будет выглядеть как расчет: =СЧЁТЗ(A:A) + СЧЁТЗ(B:B).

Подставив значения, получаем: $4 + 3 = 7$ способов.

Ответ: 7.

Правило произведения

Правило произведения используется, когда выбор состоит из нескольких последовательных шагов. Если первый шаг можно выполнить $m$ способами, а второй шаг (независимо от первого) — $n$ способами, то всю последовательность из двух шагов можно выполнить $m \times n$ способами.

Задача: В меню кафе есть 3 вида первого блюда и 5 видов второго блюда. Сколькими способами можно составить комплексный обед из одного первого и одного второго блюда?

Иллюстрация в табличном редакторе:

Для правила произведения идеально подходит двумерная таблица (матрица).

1. Заголовки строк (например, в ячейках A2, A3, A4) будут представлять первые блюда: «Борщ», «Суп-харчо», «Куриный суп».
2. Заголовки столбцов (например, в ячейках B1, C1, D1, E1, F1) будут представлять вторые блюда: «Плов», «Гуляш», «Котлета с пюре», «Рыба с рисом», «Пельмени».

На пересечении каждой строки и каждого столбца образуется уникальная комбинация обеда. Например, в ячейке C2 будет комбинация «Борщ» и «Гуляш». Вся область таблицы, заполненная комбинациями, и будет наглядной иллюстрацией всех возможных вариантов.

Общее количество комбинаций равно количеству ячеек в этой таблице, то есть произведению количества строк (первых блюд) на количество столбцов (вторых блюд).

В таблице это будет выглядеть как расчет: =СЧЁТЗ(A2:A4) * СЧЁТЗ(B1:F1).

Подставив значения, получаем: $3 \times 5 = 15$ способов.

Ответ: 15.

К § 18 «Частота и вероятность случайного события»

Как можно использовать компьютер в экспериментах по статистиче- ской оценке вероятности?

Задания этого параграфа наглядно демонстрируют преимущества использования компьютера для статистических вычислений. Более того, современные табличные редакторы могут взять на себя много технической работы по выполнению вычислений. Освойте инстру- менты табличного редактора, которые позволяют по данным, уже имеющимся в таблице, вычислить новые данные и занести их в та- блицу.

611. Выполните задание с помощью табличного редактора. Можете ли вы автоматизировать получение ответов?

617. Перенесите приведённую в задаче таблицу в табличный редактор. Добавьте столбец «Вероятность того, что выбранный наугад предмет окажется предметом, описанным в данной строке». Можете ли вы сделать так, чтобы этот столбец заполнился автоматически?

619. Это задание тоже можно выполнить с помощью табличного редактора.

Компьютер является мощным инструментом для проведения экспериментов по статистической оценке вероятности. Его использование позволяет моделировать случайные события (например, броски монеты или игральной кости) большое количество раз, что было бы затруднительно или невозможно сделать вручную. Современные табличные редакторы (такие как Microsoft Excel, Google Sheets, LibreOffice Calc) берут на себя всю техническую работу по обработке результатов этих экспериментов, их анализу и вычислению статистических характеристик, таких как частота и вероятность.

Да, получение ответов в табличном редакторе можно и нужно автоматизировать. В этом заключается одно из главных преимуществ использования компьютера для статистических расчетов. Автоматизация достигается за счет использования формул.

Например, если мы моделируем бросание игральной кости и записываем результаты в столбец A, то для автоматического подсчета, сколько раз выпало число "6", можно использовать функцию СЧЁТЕСЛИ (в англоязычных версиях — COUNTIF). Формула =СЧЁТЕСЛИ(A:A; 6) мгновенно подсчитает все шестерки в указанном столбце.

Чтобы найти статистическую вероятность (относительную частоту) этого события, нужно разделить полученное количество на общее число бросков. Общее число бросков можно посчитать функцией СЧЁТЗ (COUNTA), которая считает количество непустых ячеек. Если у нас 1000 результатов бросков в ячейках с A1 по A1000, то формула для вероятности будет выглядеть так:

$P(\text{выпало "6"}) \approx \frac{\text{Количество выпадений "6"}}{\text{Общее число бросков}} = \frac{\text{СЧЁТЕСЛИ(A1:A1000; 6)}}{\text{СЧЁТЗ(A1:A1000)}}$

Если вписать эту формулу в ячейку, она будет автоматически пересчитывать значение при добавлении или изменении данных в столбце A, тем самым автоматизируя процесс получения ответа.

Ответ: Да, получение ответов можно полностью автоматизировать с помощью встроенных функций и формул табличного редактора.

Да, столбец с вероятностями можно настроить так, чтобы он заполнялся автоматически. Рассмотрим, как это сделать, на примере гипотетической таблицы, которая могла бы быть приведена в задаче.

Допустим, исходная таблица содержит перечень типов предметов и их количество:

Чтобы автоматически заполнить столбец C «Вероятность того, что выбранный наугад предмет окажется предметом, описанным в данной строке», необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти общее количество предметов. В ячейку под списком количеств (в нашем примере это B5) вводится формула для вычисления суммы: =СУММ(B2:B4) (или =SUM(B2:B4)). В нашем примере результат будет 250.
2. Настроить формулу для вероятности. Вероятность для каждого типа предмета рассчитывается как отношение количества предметов этого типа к общему количеству. Для первой строки («Синий карандаш») в ячейку C2 нужно ввести формулу: =B2/$B$5.
   • B2 — это относительная ссылка на ячейку с количеством синих карандашей. При копировании формулы вниз она изменится на B3, B4 и так далее.
   • $B$5 — это абсолютная ссылка на ячейку с общим количеством предметов. Знак доллара $ «замораживает» ссылку, поэтому при копировании она меняться не будет. Это ключевой момент для автоматизации.
3. Заполнить столбец. После ввода формулы в ячейку C2, ее нужно скопировать в остальные ячейки столбца C (C3, C4). Это можно сделать, потянув за правый нижний угол ячейки C2 вниз. Табличный редактор автоматически рассчитает вероятности для всех строк.

В результате столбец C заполнится автоматически. Любое изменение в столбце B приведет к мгновенному пересчету и итоговой суммы, и всех вероятностей.

Ответ: Да, этот столбец можно заполнить автоматически, используя формулу с относительной ссылкой на количество в строке и абсолютной ссылкой на ячейку с общим количеством всех предметов.

Данное утверждение верно. Большинство задач, связанных с обработкой табличных данных, расчетом частот, долей и вероятностей, эффективно решаются с помощью табличного редактора. Его функционал (формулы, функции, средства сортировки, фильтрации и визуализации) специально предназначен для таких операций.

Ответ: Да, это задание также можно выполнить с помощью табличного редактора.