Страница 301 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

К § 6 «Системы линейных неравенств с одной переменной»

Выполните задания 172, 173 с помощью графического редактора.

202. Запишите алгоритм для решения этой задачи методом перебора.

223, 224, 225. Эти три задачи представляют собой три типовых примера задач на проценты. Опишите каждую из них в общем случае, создайте математическую модель, опишите входные и выходные данные задачи и запишите алгоритм решения.

202.

В контексте параграфа «Системы линейных неравенств с одной переменной», под «этой задачей» вероятнее всего понимается нахождение всех целочисленных решений системы на заданном отрезке. Ниже представлен алгоритм решения такой задачи методом перебора.

Алгоритм:

1. Начало.

2. Ввод данных. Определить систему линейных неравенств (например, $a_1x + b_1 > 0$, $a_2x + b_2 \le 0$, и т.д.) и целочисленные границы отрезка $[A, B]$, на котором будет производиться поиск решений.

3. Инициализация. Создать пустой список для хранения найденных решений (например, solutions_list).

4. Организация цикла. Запустить цикл, в котором переменная x будет последовательно принимать все целые значения от A до B включительно.

5. Проверка условия. На каждой итерации цикла подставить текущее значение x в каждое неравенство системы и проверить, выполняется ли оно.

6. Сохранение решения. Если текущее значение x удовлетворяет всем неравенствам системы, добавить его в список solutions_list.

7. Вывод результата. После завершения цикла вывести все элементы из списка solutions_list.

8. Конец.

Ответ: представлен пошаговый алгоритм для решения системы линейных неравенств с одной переменной методом перебора.

223, 224, 225.

Эти три номера соответствуют трём основным типам задач на проценты. Ниже представлено описание каждой из них в общем виде, их математические модели, описание данных и алгоритмы решения.

Тип 1: Нахождение процента от числа (задача 223)

Описание в общем случае: Дано некоторое число, которое принимается за 100%, и заданный процент. Необходимо найти значение, которое соответствует этому проценту.

Входные и выходные данные:
- Входные данные:
• A – исходное число (100%).
• P – искомый процент.
- Выходные данные:
• X – число, составляющее P% от A.

Математическая модель: Для нахождения части числа по его проценту используется формула, где число умножается на процент, представленный в виде десятичной дроби.
$X = A \cdot \frac{P}{100}$

Алгоритм решения:
1. Ввести исходное число A.
2. Ввести процент P.
3. Рассчитать искомое число X по формуле: $X = (A * P) / 100$.
4. Вывести результат X.

Ответ: представлено общее описание, математическая модель, описание данных и алгоритм для задачи нахождения процента от числа.

Тип 2: Нахождение процентного отношения чисел (задача 224)

Описание в общем случае: Даны два числа. Необходимо определить, сколько процентов составляет одно число от другого.

Входные и выходные данные:
- Входные данные:
• X – число, процентное отношение которого ищется.
• A – число, относительно которого ищется процент (база, 100%).
- Выходные данные:
• P – процент, который X составляет от A.

Математическая модель: Для нахождения процентного отношения нужно найти частное от деления одного числа на другое и умножить результат на 100.
$P = \frac{X}{A} \cdot 100$

Алгоритм решения:
1. Ввести число X.
2. Ввести число A.
3. Рассчитать процент P по формуле: $P = (X / A) * 100$.
4. Вывести результат P.

Ответ: представлено общее описание, математическая модель, описание данных и алгоритм для задачи нахождения процентного отношения чисел.

Тип 3: Нахождение числа по его проценту (задача 225)

Описание в общем случае: Дано число, которое составляет определенный процент от некоторого целого. Необходимо найти это целое (100%).

Входные и выходные данные:
- Входные данные:
• X – известная часть целого.
• P – процент, который составляет X.
- Выходные данные:
• A – искомое целое (100%).

Математическая модель: Для нахождения целого по его части нужно эту часть разделить на соответствующий ей процент, а затем умножить на 100.
$A = \frac{X}{P} \cdot 100$

Алгоритм решения:
1. Ввести число X.
2. Ввести его процентное значение P.
3. Рассчитать искомое целое A по формуле: $A = (X * 100) / P$.
4. Вывести результат A.

Ответ: представлено общее описание, математическая модель, описание данных и алгоритм для задачи нахождения числа по его проценту.

К § 7 «Повторение и расширение сведений о функции»

Какие способы задания функции удобны для того, чтобы представить эту функцию с помощью компьютера? Какие инструменты для этого используются?

Какие способы задания функции удобны для того, чтобы представить эту функцию с помощью компьютера?

Для представления функции с помощью компьютера, который оперирует точными данными и алгоритмами, наиболее удобны способы, которые можно легко формализовать. К ним относятся:

• Аналитический (формульный) способ. Это самый распространенный и эффективный способ для вычислений. Функция задается в виде одной или нескольких математических формул, например, $y = 2x^3 - \frac{1}{x}$ или $f(x) = \cos(2\pi x)$. Компьютер может легко обработать такую запись: вычислить значение функции для любого заданного аргумента $x$ из области определения, построить ее график с любой точностью, найти производные, интегралы и выполнить другие математические операции.
• Табличный способ. Этот способ удобен, когда аналитическое выражение функции неизвестно или слишком сложно, но есть набор ее значений, полученных, например, в ходе эксперимента. Данные хранятся в виде таблицы соответствия "аргумент-значение". В компьютере это реализуется с помощью массивов, списков, словарей или баз данных. Для нахождения значений функции в точках, отсутствующих в таблице, компьютер может применять методы интерполяции или аппроксимации.
• Алгоритмический (программный) способ. Это наиболее общий и универсальный способ задания функции для компьютера. Функция описывается как последовательность шагов (алгоритм), которые нужно выполнить для получения результата. Этот способ включает в себя аналитический, но также позволяет задавать функции, которые невозможно описать одной формулой, например, функции с ветвлениями (if-else) или рекурсивные функции (например, вычисление факториала $n!$). По сути, любая функция, написанная на языке программирования, является примером алгоритмического задания.

Графический и словесный способы задания функции неудобны для прямого использования компьютером, так как требуют предварительной обработки с помощью сложных технологий, таких как компьютерное зрение для анализа графиков или обработка естественного языка для интерпретации текста.

Ответ: Наиболее удобными способами задания функции для представления с помощью компьютера являются аналитический (формульный), табличный и алгоритмический.

Какие инструменты для этого используются?

Для работы с функциями, заданными разными способами, на компьютере применяется широкий спектр программных инструментов:

• Языки программирования. Это фундаментальный инструмент для алгоритмического задания функций. Языки Python, Java, C++, R, JavaScript позволяют описывать функции в виде программного кода. Например, функция $f(x) = \sqrt{x^2+1}$ на языке Python может быть записана как: def f(x): return (x**2 + 1)**0.5.
• Электронные таблицы. Программы, такие как Microsoft Excel, Google Sheets, LibreOffice Calc, являются мощным инструментом для работы с функциями, заданными таблично или аналитически. В ячейки можно вводить как данные (табличный способ), так и формулы (аналитический способ), а также строить на их основе графики и диаграммы.
• Системы компьютерной алгебры (СКА). Это специализированное программное обеспечение (Wolfram Mathematica, Maple, Maxima) и библиотеки для языков программирования (например, SymPy для Python), которые предназначены для символьных вычислений. Они позволяют работать с функцией как с математическим объектом: упрощать формулы, решать уравнения, вычислять производные и интегралы в аналитическом виде.
• Пакеты для научных и инженерных вычислений. Инструменты, такие как MATLAB, GNU Octave, и библиотеки (NumPy, SciPy, Matplotlib для Python), ориентированы на численные расчеты. Они позволяют эффективно работать с большими массивами данных (табличное представление) и выполнять сложные вычисления (например, численное интегрирование, решение дифференциальных уравнений), а также создавать качественные 2D и 3D графики функций.
• Онлайн-сервисы и графические калькуляторы. Веб-приложения, такие как Desmos, GeoGebra, Wolfram|Alpha, позволяют пользователям легко вводить функции аналитически и мгновенно получать их визуализацию в виде графика, а также исследовать их свойства.

Ответ: Для представления и работы с функциями на компьютере используются языки программирования, электронные таблицы, системы компьютерной алгебры, пакеты для научных вычислений и специализированные онлайн-сервисы.

К § 8 «Свойства функции»

Функция задана таблично. Запишите алгоритм для поиска промежутков знакопостоянства и алгоритм для поиска промежутков возрастания и убывания функции. Какому условию должно удовлетворять расположение столбцов в этой таблице? Можно ли составить такой алгоритм для других способов задания функции?

284. Составьте математическую модель этой задачи в общем виде. Запишите алгоритм решения этой задачи в общем виде.

Рассмотрим задачу анализа свойств функции, заданной таблично. Пусть функция $f$ задана набором пар $(x_i, y_i)$, где $y_i = f(x_i)$ для $i = 1, 2, \ldots, n$.

Алгоритм для поиска промежутков знакопостоянства

Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция сохраняет свой знак (т.е. остаётся строго положительной или строго отрицательной). Знак функции может измениться только при переходе через ноль (корень функции) или в точке разрыва. При анализе таблично заданной функции мы обычно делаем допущение о её непрерывности между узловыми точками.

1. Проверить все значения $y_i$ в таблице. Если $y_i = 0$, то точка $x_i$ является корнем функции. Эти корни будут границами промежутков знакопостоянства.
2. Последовательно перебирать пары соседних точек $(x_i, y_i)$ и $(x_{i+1}, y_{i+1})$ для $i$ от $1$ до $n-1$.
3. Если знаки $y_i$ и $y_{i+1}$ различны (т.е. $y_i \cdot y_{i+1} < 0$), это означает, что между $x_i$ и $x_{i+1}$ находится корень функции. Приближенное положение этого корня $x_0$ можно найти, например, методом линейной интерполяции. Эти найденные корни также являются границами промежутков знакопостоянства.
4. Если знаки $y_i$ и $y_{i+1}$ совпадают (оба положительны или оба отрицательны), то на всем интервале $(x_i, x_{i+1})$ функция сохраняет знак.
5. Сформировать итоговые промежутки знакопостоянства, объединяя смежные интервалы, на которых функция имеет одинаковый знак. Например, если функция положительна на $(x_1, x_2)$ и на $(x_2, x_3)$, то она положительна на всем промежутке $(x_1, x_3)$.

Ответ: Алгоритм заключается в последовательном анализе знаков значений функции $y_i$ и $y_{i+1}$ для определения интервалов, где знак сохраняется, и нахождения точек смены знака (корней) для установления границ этих интервалов.

Алгоритм для поиска промежутков возрастания и убывания функции

Промежутки возрастания и убывания (монотонности) определяются сравнением значений функции в соседних точках при условии, что значения аргумента упорядочены.

1. Убедиться, что значения аргумента $x_i$ в таблице упорядочены по возрастанию: $x_1 < x_2 < \ldots < x_n$.
2. Последовательно перебирать пары соседних точек $(x_i, y_i)$ и $(x_{i+1}, y_{i+1})$ для $i$ от $1$ до $n-1$.
3. Для каждого интервала $[x_i, x_{i+1}]$ сравнить значения $y_i$ и $y_{i+1}$:
   • Если $y_{i+1} > y_i$, функция считается возрастающей на промежутке $[x_i, x_{i+1}]$.
   • Если $y_{i+1} < y_i$, функция считается убывающей на промежутке $[x_i, x_{i+1}]$.
   • Если $y_{i+1} = y_i$, функция является постоянной на промежутке $[x_i, x_{i+1}]$.
4. Объединить смежные промежутки с одинаковым характером монотонности. Например, если функция возрастает на $[x_1, x_2]$ и на $[x_2, x_3]$, то она возрастает на всем промежутке $[x_1, x_3]$.

Ответ: Алгоритм основан на попарном сравнении значений функции $y_i$ и $y_{i+1}$ в соседних, упорядоченных по аргументу $x$, точках для определения характера изменения функции (возрастание, убывание, постоянство) и последующем объединении смежных интервалов с одинаковым характером монотонности.

Какому условию должно удовлетворять расположение столбцов в этой таблице?

Для корректного определения промежутков возрастания и убывания, а также для осмысленного анализа поведения функции между точками, необходимо, чтобы данные в таблице были упорядочены по аргументу функции.

Ответ: Значения аргумента функции $x$ в столбцах (или строках) таблицы должны быть отсортированы в порядке возрастания: $x_1 < x_2 < x_3 < \ldots < x_n$.

Можно ли составить такой алгоритм для других способов задания функции?

Да, возможно составить алгоритмы для нахождения промежутков знакопостоянства и монотонности для функций, заданных другими способами, но сами алгоритмы будут принципиально отличаться.

• Аналитический способ (формулой): Для нахождения промежутков знакопостоянства решают уравнение $f(x)=0$, чтобы найти корни. Корни разбивают область определения на интервалы, в каждом из которых знак функции постоянен и определяется проверкой в любой точке интервала. Для нахождения промежутков монотонности находят производную $f'(x)$, приравнивают её к нулю для нахождения критических точек, а затем анализируют знак производной на интервалах между этими точками.
• Графический способ: Промежутки знакопостоянства определяются визуально: где график функции лежит выше оси абсцисс ($f(x)>0$) и где ниже ($f(x)<0$). Промежутки монотонности также определяются визуально: где график "идёт вверх" при движении слева направо (возрастание) и где "идёт вниз" (убывание).

Ответ: Да, можно составить алгоритмы для нахождения указанных свойств для любого способа задания функции. Однако конкретные шаги алгоритма будут зависеть от способа задания (табличный, аналитический, графический) и будут использовать разные математические аппараты.

284. Составьте математическую модель этой задачи в общем виде. Запишите алгоритм решения этой задачи в общем виде.

Математическая модель

• Дано: Функция $f$ задана дискретным множеством упорядоченных пар $T = \{(x_i, y_i) | y_i = f(x_i)\}_{i=1}^n$, где значения аргумента строго упорядочены: $x_1 < x_2 < \ldots < x_n$.
• Допущение: Для возможности говорить о промежутках, мы предполагаем, что между любыми двумя соседними узлами $(x_i, y_i)$ и $(x_{i+1}, y_{i+1})$ функция $f$ непрерывна и монотонна.
• Найти:
  1. Множество промежутков знакопостоянства:
     • $S_+ = \{I | \forall x \in I, f(x) > 0\}$ — множество промежутков, где функция положительна.
     • $S_- = \{I | \forall x \in I, f(x) < 0\}$ — множество промежутков, где функция отрицательна.
  2. Множество промежутков монотонности:
     • $M_{inc} = \{I | \forall x_a, x_b \in I: x_a < x_b \Rightarrow f(x_a) < f(x_b)\}$ — множество промежутков возрастания.
     • $M_{dec} = \{I | \forall x_a, x_b \in I: x_a < x_b \Rightarrow f(x_a) > f(x_b)\}$ — множество промежутков убывания.

Алгоритм решения задачи в общем виде

Ниже представлены обобщенные алгоритмы для нахождения искомых множеств промежутков.

Алгоритм 1: Определение промежутков знакопостоянства

1. Создать список граничных точек $B$, изначально содержащий $x_1$ и $x_n$.
2. Для $i$ от $1$ до $n$: если $y_i=0$, добавить $x_i$ в $B$.
3. Для $i$ от $1$ до $n-1$: если $y_i \cdot y_{i+1} < 0$, вычислить корень $x_0 \in (x_i, x_{i+1})$ (например, через линейную интерполяцию $x_0 = x_i - y_i \frac{x_{i+1}-x_i}{y_{i+1}-y_i}$) и добавить $x_0$ в $B$.
4. Отсортировать и удалить дубликаты из списка $B = \{b_1, b_2, \ldots, b_k\}$.
5. Инициализировать пустые множества $S_+$ и $S_-$.
6. Для $j$ от $1$ до $k-1$:
   1. Рассмотреть интервал $I_j = (b_j, b_{j+1})$.
   2. Определить знак функции на этом интервале. Поскольку на $I_j$ нет корней, знак постоянен. Его можно определить по знаку $y_i$ для любого $x_i$ из исходной таблицы, попадающего в этот интервал, или из его окрестности.
   3. Если знак "плюс", добавить $I_j$ в $S_+$. Если "минус", добавить в $S_-$.
7. Вернуть множества $S_+$ и $S_-$.

Алгоритм 2: Определение промежутков монотонности

1. Инициализировать пустые множества $M_{inc}$ и $M_{dec}$.
2. Инициализировать переменные: $start\_point = x_1$, $current\_trend = \text{null}$.
3. Для $i$ от $1$ до $n-1$:
   1. Определить локальный тренд $new\_trend$ на $[x_i, x_{i+1}]$:
      • 'возрастание', если $y_{i+1} > y_i$.
      • 'убывание', если $y_{i+1} < y_i$.
      • 'постоянство', если $y_{i+1} = y_i$.
   2. Если $current\_trend$ равен $null$, присвоить $current\_trend = new\_trend$.
   3. Если $new\_trend$ не совпадает с $current\_trend$ (или $i=n-1$):
      1. Сформировать промежуток $I = [start\_point, x_i]$ (или $[start\_point, x_n]$ для последнего шага).
      2. Если $current\_trend$ — 'возрастание', добавить $I$ в $M_{inc}$.
      3. Если $current\_trend$ — 'убывание', добавить $I$ в $M_{dec}$.
      4. Обновить: $start\_point = x_i$, $current\_trend = new\_trend$.
4. Вернуть множества $M_{inc}$ и $M_{dec}$.

Ответ: Математическая модель формализует задачу через исходные данные (упорядоченное множество точек), допущения (непрерывность и монотонность между точками) и искомые результаты (множества промежутков). Общие алгоритмы решения предоставляют пошаговые процедуры для нахождения этих множеств путем анализа знаков и сравнения значений функции в соседних узлах таблицы.

С помощью табличного редактора задайте какую-либо функцию $y = f(x)$ таблично и постройте её график. Какие изменения надо внести в таблицу, чтобы построить график функции $y = kf(x)$? Как сделать это автоматически? Постройте таким образом несколько графиков функции $y = kf(x)$ для различных значений $k$.

Постройте график какой-либо функции $y = f(x)$ с помощью графического редактора. Какие инструменты графического редактора надо использовать, чтобы получить из этого графика график функции $y = kf(x)$ при $k > 1$; при $0 < k < 1$; при $k = -1$? Как можно использовать полученные результаты, чтобы получить график функции $y = kf(x)$ при $k < 0$ и $k \neq -1$?

Часть 1: Построение с помощью табличного редактора

Рассмотрим весь процесс на примере функции $y = \sin(x)$. В качестве табличного редактора можно использовать Microsoft Excel, Google Sheets, LibreOffice Calc или другие аналогичные программы.

С помощью табличного редактора задайте какую-либо функцию $y = f(x)$ таблично и постройте её график.

1. Откройте табличный редактор. Создайте два столбца. Первый назовем «x» (например, столбец A), второй – «y = f(x)» (например, столбец B).

2. Заполните столбец «x» значениями аргумента. Для наглядности графика $y = \sin(x)$ возьмем значения от $-2\pi$ до $2\pi$ с шагом $\pi/8$. В ячейку A2 введите формулу для вычисления $-2\pi$ (например, =-2*ПИ() в русскоязычной версии Excel или =-2*PI() в англоязычной). В ячейку A3 введите формулу =A2+ПИ()/8, чтобы задать шаг, и растяните (скопируйте) эту формулу вниз до тех пор, пока значение не достигнет $2\pi$.

3. В столбец «y = f(x)» введите формулу для вычисления значений функции. В ячейку B2 введите =SIN(A2) (или =СИН(A2)) и растяните эту формулу на весь диапазон значений x.

4. Выделите оба столбца с данными (A и B) и воспользуйтесь инструментом для построения диаграмм (обычно находится во вкладке «Вставка»). Выберите тип диаграммы «Точечная с гладкими кривыми и маркерами». Редактор построит график на основе ваших данных.

Ответ: Чтобы задать функцию таблично, нужно создать два столбца для значений $x$ и $f(x)$, а затем использовать встроенный инструмент построения диаграмм для визуализации данных в виде графика.

Какие изменения надо внести в таблицу, чтобы построить график функции $y = kf(x)$? Как сделать это автоматически?

Чтобы построить график функции $y = kf(x)$, необходимо добавить в таблицу новый столбец, в котором каждое значение функции $f(x)$ будет умножено на коэффициент $k$.

Для автоматизации этого процесса следует:

1. Выделить отдельную ячейку (например, D1) для хранения значения коэффициента $k$. Впишите в нее любое число, например, 2.

2. Создать новый столбец (например, столбец C) с заголовком «y = k*f(x)».

3. В первую ячейку этого столбца (C2) ввести формулу, которая умножает значение из столбца B на значение из ячейки D1. Крайне важно использовать абсолютную ссылку на ячейку с коэффициентом $k$, чтобы она не изменялась при копировании формулы вниз. Формула будет выглядеть так: =B2*$D$1. Знак доллара $ перед буквой столбца и номером строки фиксирует ссылку.

4. Растянуть эту формулу на весь столбец.

5. Добавить новый ряд данных на существующий график (используя значения из столбцов A и C). Теперь, если вы измените значение в ячейке D1, график функции $y = kf(x)$ перестроится автоматически.

Ответ: Необходимо добавить в таблицу новый столбец, значения которого вычисляются по формуле, умножающей значения $f(x)$ на коэффициент $k$. Для автоматизации процесса коэффициент $k$ следует вынести в отдельную ячейку и ссылаться на нее в формуле с помощью абсолютной адресации.

Постройте таким образом несколько графиков функции $y = kf(x)$ для различных значений $k$.

Чтобы построить несколько графиков на одной координатной плоскости, можно создать несколько столбцов, каждый для своего значения $k$. Например:

• Столбец C (для $k = 2$): формула в C2 =B2*2
• Столбец D (для $k = 0.5$): формула в D2 =B2*0.5
• Столбец E (для $k = -1$): формула в E2 =B2*(-1)
• Столбец F (для $k = -2$): формула в F2 =B2*(-2)

После заполнения всех столбцов выделите столбец A (значения x) и столбцы B, C, D, E, F (значения y) и постройте общую диаграмму. На ней будут одновременно отображены графики для $y=f(x)$ и нескольких вариантов $y=kf(x)$, что позволит наглядно их сравнить.

Ответ: Создав в таблице отдельные столбцы для каждого значения $k$ и добавив их как новые ряды данных на диаграмму, можно построить и сравнить несколько графиков функции $y = kf(x)$ одновременно.

Часть 2: Построение с помощью графического редактора

Предположим, у нас есть изображение с графиком некоторой функции $y=f(x)$, например, параболы $y=x^2-1$. В качестве графического редактора можно использовать Adobe Photoshop, GIMP, Inkscape или любой другой, поддерживающий трансформации объектов.

Какие инструменты графического редактора надо использовать, чтобы получить из этого графика график функции $y = kf(x)$ при $k > 1$?

Чтобы получить график $y=kf(x)$ из графика $y=f(x)$ при $k > 1$, необходимо выполнить вертикальное растяжение графика от оси абсцисс (Ox) в $k$ раз. Ордината (координата y) каждой точки графика умножается на $k$, а абсцисса (координата x) остается неизменной. Для этого в графическом редакторе нужно:

1. Выделить слой или объект с графиком.

2. Активировать инструмент «Масштабирование» (Scale) или «Свободная трансформация» (Free Transform).

3. Отключить опцию сохранения пропорций (chain icon / "сохранять соотношение сторон").

4. Увеличить масштаб по вертикали в $k$ раз (например, для $k=2$ установить вертикальный масштаб 200%), оставив горизонтальный масштаб без изменений (100%).

Ответ: Нужно использовать инструмент «Масштабирование» («Трансформация») для растяжения изображения по вертикали в $k$ раз относительно оси Ox.

...при $0 < k < 1$?

В этом случае необходимо выполнить вертикальное сжатие графика к оси абсцисс (Ox) в $1/k$ раз (или с коэффициентом $k$). Алгоритм действий аналогичен предыдущему пункту, но вместо увеличения вертикального масштаба его нужно уменьшить. Например, для $k=0.5$ вертикальный масштаб нужно установить равным 50%.

Ответ: Нужно использовать инструмент «Масштабирование» («Трансформация») для сжатия изображения по вертикали с коэффициентом $k$ относительно оси Ox.

...при $k = -1$?

Чтобы получить график функции $y = -f(x)$, необходимо отразить исходный график симметрично относительно оси абсцисс (Ox). Все положительные значения $y$ станут отрицательными, и наоборот. Для этого в графических редакторах есть специальный инструмент:

1. Выделить слой или объект с графиком.

2. Применить команду «Отразить по вертикали» (Flip Vertical) из меню трансформации или редактирования.

Ответ: Нужно использовать инструмент «Отразить по вертикали» для симметричного отображения графика относительно оси Ox.

Как можно использовать полученные результаты, чтобы получить график функции $y = kf(x)$ при $k < 0$ и $k \neq -1$?

Преобразование для отрицательного $k$ (кроме -1) является комбинацией двух ранее рассмотренных преобразований. Любое такое $k$ можно представить в виде произведения $k = -1 \cdot |k|$, где $|k|$ — положительное число (модуль $k$).

Таким образом, чтобы построить график $y = kf(x)$, нужно последовательно применить к исходному графику $y=f(x)$ два преобразования:

1. Вертикальное масштабирование с коэффициентом $|k|$. Это будет растяжение (если $|k|>1$) или сжатие (если $0 < |k| < 1$).

2. Отражение относительно оси Ox.

Порядок выполнения этих двух преобразований не имеет значения, результат будет идентичным. Например, для получения графика $y = -2f(x)$, нужно либо сначала растянуть график $y=f(x)$ в 2 раза по вертикали, а затем отразить результат, либо сначала отразить, а потом растянуть.

Ответ: Необходимо выполнить комбинацию из двух преобразований: вертикального масштабирования с коэффициентом $|k|$ и симметричного отражения относительно оси Ox. Порядок выполнения этих преобразований не важен.

K § 10 «Построение графиков функций $y = f(x) + b$ и $y = f(x + a)$»

С помощью табличного редактора задайте какую-либо функцию $y = f(x)$ таблично и постройте её график. Какие изменения надо внести в таблицу, чтобы получить график функции $y = f(x) + b$? $y = f(x + a)$? $y = f(x + a) + b$? Как сделать это автоматически? Постройте таким образом несколько графиков функции $y = f(x + a) + b$ для различных значений $a$ и $b$.

Постройте график какой-либо функции $y = f(x)$ с помощью графического редактора. Какие инструменты графического редактора надо использовать, чтобы получить из этого графика график функции $y = f(x) + b$? $y = f(x + a)$? Как можно использовать полученные результаты, чтобы получить график функции $y = f(x + a) + b$?

С помощью табличного редактора

Рассмотрим, как выполнить эти построения на примере функции $y=x^2$. Для этого воспользуемся любым табличным редактором (например, Microsoft Excel, Google Sheets, LibreOffice Calc).

1. Построение исходного графика $y=f(x)$

• В столбец A введем значения аргумента $x$. Например, от -5 до 5 с шагом 0.5.
• В ячейку B1 введем название функции "y = x^2". В ячейку B2 введем формулу для вычисления функции: =A2^2. Затем скопируем эту формулу вниз для всех значений $x$.
• Выделим два столбца с данными (A и B) и построим график типа "Точечная диаграмма с гладкими кривыми". Это будет график исходной функции $y=x^2$.

2. Изменения в таблице для получения новых графиков и их автоматизация

Чтобы сделать процесс автоматическим, выделим отдельные ячейки для параметров $a$ и $b$. Например, пусть значение $a$ будет в ячейке E1, а значение $b$ — в ячейке F1. Введем туда какие-нибудь начальные значения, например, $a=2$ и $b=3$.

• Чтобы получить график функции $y = f(x) + b$:
  Это преобразование соответствует сдвигу графика вдоль оси OY на $b$ единиц.
  В таблице нужно создать новый столбец (например, C). В ячейку C2 вводится формула, которая к значению $f(x)$ из столбца B прибавляет значение параметра $b$ из ячейки F1. Формула будет выглядеть так: =B2+$F$1 (знак $ используется для абсолютной адресации, чтобы при копировании ссылка на ячейку F1 не менялась). Скопировав эту формулу вниз, мы получим столбец значений для $y = f(x)+b$. Добавляем новую серию данных (столбцы A и C) на наш график.
• Чтобы получить график функции $y = f(x + a)$:
  Это преобразование соответствует сдвигу графика вдоль оси OX на $-a$ единиц (влево, если $a>0$, и вправо, если $a<0$).
  В таблице создаем еще один столбец (например, D). В ячейку D2 вводится формула, вычисляющая значение функции для аргумента $(x+a)$. Для нашего примера $y=x^2$ формула будет: =(A2+$E$1)^2. Скопировав формулу вниз, получим столбец значений для $y = f(x+a)$. Добавляем эту серию данных (столбцы A и D) на график.
• Чтобы получить график функции $y = f(x + a) + b$:
  Это преобразование объединяет два предыдущих: сдвиг по горизонтали и по вертикали.
  Создаем столбец E. В ячейку E2 вводим формулу, которая реализует оба преобразования: =(A2+$E$1)^2+$F$1. Копируем формулу вниз и добавляем новую серию данных (столбцы A и E) на график.

Автоматизация и построение нескольких графиков:
Использование ячеек для параметров $a$ и $b$ (E1 и F1) позволяет мгновенно изменять графики. Достаточно ввести новые значения $a$ и $b$ в эти ячейки, и табличный редактор автоматически пересчитает все значения в столбцах C, D, E и обновит соответствующие кривые на диаграмме. Таким образом можно легко построить и проанализировать несколько графиков для различных значений $a$ и $b$.

Ответ: Чтобы получить графики преобразованных функций в табличном редакторе, необходимо:
1. Для $y = f(x) + b$: создать новый столбец, в котором к каждому значению $f(x)$ прибавляется константа $b$.
2. Для $y = f(x + a)$: создать новый столбец, в котором функция $f$ вычисляется для нового аргумента $(x+a)$.
3. Для $y = f(x+a) + b$: создать новый столбец, где выполняются оба вышеуказанных действия.
Автоматизация достигается путем вынесения параметров $a$ и $b$ в отдельные ячейки и использования абсолютных ссылок на них в формулах.

С помощью графического редактора

Предположим, у нас уже есть нарисованный в графическом редакторе (например, GeoGebra, Desmos или любом векторном редакторе) график функции $y=f(x)$. Графический редактор позволяет выполнять геометрические преобразования над объектами, в нашем случае — над кривой графика.

• Чтобы получить график функции $y = f(x) + b$:
  Это преобразование является параллельным переносом (сдвигом) графика вдоль оси ординат (OY).
  Инструменты: Нужно использовать инструмент "Перемещение" или "Параллельный перенос".
  Действия: Необходимо выделить весь график и переместить его на $b$ единиц вверх, если $b>0$, или на $|b|$ единиц вниз, если $b<0$.
• Чтобы получить график функции $y = f(x + a)$:
  Это преобразование является параллельным переносом (сдвигом) графика вдоль оси абсцисс (OX).
  Инструменты: Также используется инструмент "Перемещение" или "Параллельный перенос".
  Действия: Необходимо выделить весь график и переместить его на $a$ единиц влево, если $a>0$, или на $|a|$ единиц вправо, если $a<0$.
• Как использовать полученные результаты, чтобы получить график функции $y = f(x + a) + b$:
  Это преобразование является композицией двух предыдущих, то есть последовательным их применением. Это параллельный перенос на вектор $\vec{v}(-a, b)$.
  Действия: Можно выполнить два сдвига поочередно в любом порядке:
  1. Сначала сдвинуть исходный график $y=f(x)$ по горизонтали на $-a$, получив промежуточный график $y=f(x+a)$.
  2. Затем сдвинуть полученный график по вертикали на $b$, получив итоговый график $y=f(x+a)+b$.
  Либо наоборот: сначала сдвиг по вертикали, потом по горизонтали. Результат будет одинаковым. Некоторые графические редакторы позволяют выполнить перенос на заданный вектор $(\Delta x, \Delta y)$ за один шаг. В этом случае нужно задать $\Delta x = -a$ и $\Delta y = b$.

Ответ: Для получения графиков преобразованных функций из исходного графика $y=f(x)$ в графическом редакторе следует использовать инструмент "Перемещение" или "Параллельный перенос".
• Для $y=f(x)+b$ график сдвигается по вертикали на $b$ единиц.
• Для $y=f(x+a)$ график сдвигается по горизонтали на $-a$ единиц.
• Для $y=f(x+a)+b$ нужно последовательно выполнить оба этих сдвига (или один сдвиг на вектор с координатами $(-a, b)$).