Страница 297 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

6. Геометрическая вероятность

Рекомендуемая литература

Васильев Н. Геометрические вероятности // Квант. – 1991. – № 1.

Васильев Н., Спивак А. Посчитаем вероятности // Квант. – 1997. – № 4.

Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. Комбинаторика. – М. : ФИМА, МЦНМО, 2006.

Горбачёв Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике. – М. : МЦНМО, 2004.

Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач. – М. : Наука, 1971.

Шень А. Вероятность: примеры и задачи. – М. : МЦНМО, 2007.

Геометрическая вероятность — это раздел теории вероятностей, который применяется в случаях, когда пространство элементарных исходов непрерывно и представляет собой некоторое геометрическое множество (отрезок, часть плоскости или пространства). Предполагается, что все исходы (точки в этом множестве) являются равновозможными.

Вероятность события $A$ определяется как отношение меры множества исходов, благоприятствующих этому событию ($A$), к мере всего пространства элементарных исходов ($\Omega$). В зависимости от размерности пространства, мерой может быть длина, площадь или объем.

Формула для вычисления геометрической вероятности имеет вид:

$P(A) = \frac{\mu(A)}{\mu(\Omega)}$

где $\mu(A)$ — мера множества благоприятствующих исходов, а $\mu(\Omega)$ — мера всего пространства возможных исходов.

Ответ: Геометрическая вероятность — это вероятность случайного попадания точки в некоторую область, которая вычисляется как отношение меры этой области к мере всего пространства возможных положений точки.

На изображении представлен следующий список литературы по данной теме:

Васильев Н. Геометрические вероятности // Квант. — 1991. — № 1.
Васильев Н., Спивак А. Посчитаем вероятности // Квант. — 1997. — № 4.
Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. Комбинаторика. — М. : ФИМА, МЦНМО, 2006.
Горбачёв Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике. — М. : МЦНМО, 2004.
Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач. — М. : Наука, 1971.
Шень А. Вероятность: примеры и задачи. — М. : МЦНМО, 2007.

Ответ: В качестве рекомендуемой литературы приведены статьи из журнала "Квант" и книги, посвященные комбинаторике, теории вероятностей и олимпиадным задачам по математике.

7. Формула включений и исключений

Рекомендуемая литература

Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. Комбинаторика. — М. : ФИМА, МЦНМО, 2006.

Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки. — Киров : АСА, 1984.

Горбачёв Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике. — М. : МЦНМО, 2004.

Яглом И. Заплаты на кафтане // Квант. — 1974. — № 2.

Формула включений и исключений (или принцип включений-исключений) — это комбинаторная формула, позволяющая определить мощность (количество элементов) объединения нескольких конечных множеств. Суть принципа заключается в том, чтобы найти количество элементов, входящих хотя бы в одно из этих множеств, зная размеры самих множеств и размеры всех их возможных пересечений. Идея состоит в том, чтобы сначала сложить размеры всех множеств, затем вычесть размеры всех попарных пересечений, затем прибавить размеры всех тройных пересечений, и так далее, чередуя знаки.

Для двух конечных множеств $A$ и $B$ количество элементов в их объединении $A \cup B$ можно найти, сложив их мощности и вычтя мощность их пересечения. Это необходимо, поскольку элементы, находящиеся в пересечении $A \cap B$, при простом сложении $|A| + |B|$ учитываются дважды — один раз как элементы $A$ и один раз как элементы $B$. Чтобы исправить это, мы вычитаем их количество один раз.

Ответ: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Для трех множеств $A$, $B$ и $C$ формула усложняется. Сначала мы складываем мощности всех трех множеств: $|A| + |B| + |C|$. При этом элементы, принадлежащие пересечениям двух множеств (например, $A \cap B$), посчитаны дважды, а элементы, принадлежащие пересечению всех трех множеств ($A \cap B \cap C$), посчитаны трижды. Чтобы это исправить, мы вычитаем мощности всех попарных пересечений: $- (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|)$. Теперь элементы из попарных пересечений (но не из тройного) посчитаны ровно один раз. А элементы из тройного пересечения $A \cap B \cap C$ были трижды добавлены (в сумме $|A|+|B|+|C|$) и трижды вычтены (в сумме попарных пересечений), то есть их текущий вклад равен нулю. Поэтому их нужно добавить один раз, прибавив $|A \cap B \cap C|$.

Ответ: $|A \cup B \cup C| = (|A| + |B| + |C|) - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + |A \cap B \cap C|$

Этот принцип можно обобщить на случай $n$ конечных множеств $A_1, A_2, \dots, A_n$. Мощность их объединения равна сумме мощностей всех множеств, минус сумма мощностей всех попарных пересечений, плюс сумма мощностей всех тройных пересечений, и так далее, со знакопеременным рядом до пересечения всех $n$ множеств. В общем виде формула выглядит так:

Ответ: $|\bigcup_{i=1}^{n} A_i| = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} \sum_{1 \le i_1 < \dots < i_k \le n} |A_{i_1} \cap \dots \cap A_{i_k}|$

Рассмотрим классическую задачу: сколько натуральных чисел от 1 до 100 не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5? Пусть $U$ — множество всех натуральных чисел от 1 до 100, $|U| = 100$. Обозначим свойства: $P_2$ — число делится на 2, $P_3$ — число делится на 3, $P_5$ — число делится на 5. Пусть $A_k$ — подмножество $U$, элементы которого обладают свойством $P_k$. Мы ищем количество чисел, не обладающих ни одним из этих свойств, то есть $|U| - |A_2 \cup A_3 \cup A_5|$. Сначала найдем $|A_2 \cup A_3 \cup A_5|$ по формуле включений и исключений для трех множеств.

Мощности одиночных множеств:
$|A_2| = \lfloor\frac{100}{2}\rfloor = 50$
$|A_3| = \lfloor\frac{100}{3}\rfloor = 33$
$|A_5| = \lfloor\frac{100}{5}\rfloor = 20$
Мощности попарных пересечений (числа, делящиеся на оба числа, т.е. на их наименьшее общее кратное):
$|A_2 \cap A_3| = |A_6| = \lfloor\frac{100}{6}\rfloor = 16$
$|A_2 \cap A_5| = |A_{10}| = \lfloor\frac{100}{10}\rfloor = 10$
$|A_3 \cap A_5| = |A_{15}| = \lfloor\frac{100}{15}\rfloor = 6$
Мощность тройного пересечения:
$|A_2 \cap A_3 \cap A_5| = |A_{30}| = \lfloor\frac{100}{30}\rfloor = 3$
Теперь применяем формулу:
$|A_2 \cup A_3 \cup A_5| = (|A_2| + |A_3| + |A_5|) - (|A_2 \cap A_3| + |A_2 \cap A_5| + |A_3 \cap A_5|) + |A_2 \cap A_3 \cap A_5|$
$|A_2 \cup A_3 \cup A_5| = (50 + 33 + 20) - (16 + 10 + 6) + 3 = 103 - 32 + 3 = 74$.
Это количество чисел, которые делятся хотя бы на одно из чисел 2, 3 или 5. Чтобы найти количество чисел, которые не делятся ни на одно из них, вычтем это значение из общего количества чисел:
$100 - 74 = 26$.

Ответ: 26 чисел от 1 до 100 не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5.

8. Алгебраические уравнения высших степеней

Рекомендуемая литература

Еремин М.А. Уравнения высших степеней. – Арзамас, 2003.

Курош А.Г. Алгебраические уравнения произвольных степеней. – М. : Наука, 1975.

Лоповок Л.М. 1000 проблемных задач по математике. – М. : Просвещение, 1995.

Шафаревич И.Р. Популярные лекции по математике. О решении уравнений высших степеней. Вып. 15. – М. : Наука, 1954.

Еремин М.А. Книга «Уравнения высших степеней», опубликованная в 2003 году в Арзамасе, является, судя по названию, специализированным изданием. Она, вероятно, содержит как теоретические основы, так и практические методы для решения алгебраических уравнений степени выше второй, предлагая современный взгляд на данную проблематику.
Ответ: Еремин М.А. Уравнения высших степеней. – Арзамас, 2003.

Курош А.Г. Это фундаментальный труд «Алгебраические уравнения произвольных степеней» от известного советского математика-алгебраиста А.Г. Куроша. Изданная в 1975 году издательством «Наука», эта книга представляет собой классический университетский курс, посвященный общей теории уравнений, включая ключевые результаты теории Галуа.
Ответ: Курош А.Г. Алгебраические уравнения произвольных степеней. – М. : Наука, 1975.

Лоповок Л.М. Сборник «1000 проблемных задач по математике» (1995 г.) является задачником повышенной сложности. Его включение в список рекомендуемой литературы указывает на то, что в книге, скорее всего, есть значительный раздел с нестандартными, олимпиадными задачами по теме уравнений высших степеней, который предназначен для углубленной практики и развития навыков решения сложных проблем.
Ответ: Лоповок Л.М. 1000 проблемных задач по математике. – М. : Просвещение, 1995.

Шафаревич И.Р. Брошюра «О решении уравнений высших степеней» является 15-м выпуском в знаменитой серии «Популярные лекции по математике». Написанная выдающимся математиком И.Р. Шафаревичем и изданная в 1954 году, она в доступной форме знакомит широкий круг читателей (включая школьников и студентов) с историей вопроса и ключевыми идеями, лежащими в основе теории решения уравнений, в том числе с доказательством невозможности решения в радикалах общего уравнения пятой степени.
Ответ: Шафаревич И.Р. Популярные лекции по математике. О решении уравнений высших степеней. Вып. 15. – М. : Наука, 1954.