Номер 8, страница 301 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

К § 8 «Свойства функции»

Функция задана таблично. Запишите алгоритм для поиска промежутков знакопостоянства и алгоритм для поиска промежутков возрастания и убывания функции. Какому условию должно удовлетворять расположение столбцов в этой таблице? Можно ли составить такой алгоритм для других способов задания функции?

284. Составьте математическую модель этой задачи в общем виде. Запишите алгоритм решения этой задачи в общем виде.

Рассмотрим задачу анализа свойств функции, заданной таблично. Пусть функция $f$ задана набором пар $(x_i, y_i)$, где $y_i = f(x_i)$ для $i = 1, 2, \ldots, n$.

Алгоритм для поиска промежутков знакопостоянства

Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция сохраняет свой знак (т.е. остаётся строго положительной или строго отрицательной). Знак функции может измениться только при переходе через ноль (корень функции) или в точке разрыва. При анализе таблично заданной функции мы обычно делаем допущение о её непрерывности между узловыми точками.

1. Проверить все значения $y_i$ в таблице. Если $y_i = 0$, то точка $x_i$ является корнем функции. Эти корни будут границами промежутков знакопостоянства.
2. Последовательно перебирать пары соседних точек $(x_i, y_i)$ и $(x_{i+1}, y_{i+1})$ для $i$ от $1$ до $n-1$.
3. Если знаки $y_i$ и $y_{i+1}$ различны (т.е. $y_i \cdot y_{i+1} < 0$), это означает, что между $x_i$ и $x_{i+1}$ находится корень функции. Приближенное положение этого корня $x_0$ можно найти, например, методом линейной интерполяции. Эти найденные корни также являются границами промежутков знакопостоянства.
4. Если знаки $y_i$ и $y_{i+1}$ совпадают (оба положительны или оба отрицательны), то на всем интервале $(x_i, x_{i+1})$ функция сохраняет знак.
5. Сформировать итоговые промежутки знакопостоянства, объединяя смежные интервалы, на которых функция имеет одинаковый знак. Например, если функция положительна на $(x_1, x_2)$ и на $(x_2, x_3)$, то она положительна на всем промежутке $(x_1, x_3)$.

Ответ: Алгоритм заключается в последовательном анализе знаков значений функции $y_i$ и $y_{i+1}$ для определения интервалов, где знак сохраняется, и нахождения точек смены знака (корней) для установления границ этих интервалов.

Алгоритм для поиска промежутков возрастания и убывания функции

Промежутки возрастания и убывания (монотонности) определяются сравнением значений функции в соседних точках при условии, что значения аргумента упорядочены.

1. Убедиться, что значения аргумента $x_i$ в таблице упорядочены по возрастанию: $x_1 < x_2 < \ldots < x_n$.
2. Последовательно перебирать пары соседних точек $(x_i, y_i)$ и $(x_{i+1}, y_{i+1})$ для $i$ от $1$ до $n-1$.
3. Для каждого интервала $[x_i, x_{i+1}]$ сравнить значения $y_i$ и $y_{i+1}$:
   • Если $y_{i+1} > y_i$, функция считается возрастающей на промежутке $[x_i, x_{i+1}]$.
   • Если $y_{i+1} < y_i$, функция считается убывающей на промежутке $[x_i, x_{i+1}]$.
   • Если $y_{i+1} = y_i$, функция является постоянной на промежутке $[x_i, x_{i+1}]$.
4. Объединить смежные промежутки с одинаковым характером монотонности. Например, если функция возрастает на $[x_1, x_2]$ и на $[x_2, x_3]$, то она возрастает на всем промежутке $[x_1, x_3]$.

Ответ: Алгоритм основан на попарном сравнении значений функции $y_i$ и $y_{i+1}$ в соседних, упорядоченных по аргументу $x$, точках для определения характера изменения функции (возрастание, убывание, постоянство) и последующем объединении смежных интервалов с одинаковым характером монотонности.

Какому условию должно удовлетворять расположение столбцов в этой таблице?

Для корректного определения промежутков возрастания и убывания, а также для осмысленного анализа поведения функции между точками, необходимо, чтобы данные в таблице были упорядочены по аргументу функции.

Ответ: Значения аргумента функции $x$ в столбцах (или строках) таблицы должны быть отсортированы в порядке возрастания: $x_1 < x_2 < x_3 < \ldots < x_n$.

Можно ли составить такой алгоритм для других способов задания функции?

Да, возможно составить алгоритмы для нахождения промежутков знакопостоянства и монотонности для функций, заданных другими способами, но сами алгоритмы будут принципиально отличаться.

• Аналитический способ (формулой): Для нахождения промежутков знакопостоянства решают уравнение $f(x)=0$, чтобы найти корни. Корни разбивают область определения на интервалы, в каждом из которых знак функции постоянен и определяется проверкой в любой точке интервала. Для нахождения промежутков монотонности находят производную $f'(x)$, приравнивают её к нулю для нахождения критических точек, а затем анализируют знак производной на интервалах между этими точками.
• Графический способ: Промежутки знакопостоянства определяются визуально: где график функции лежит выше оси абсцисс ($f(x)>0$) и где ниже ($f(x)<0$). Промежутки монотонности также определяются визуально: где график "идёт вверх" при движении слева направо (возрастание) и где "идёт вниз" (убывание).

Ответ: Да, можно составить алгоритмы для нахождения указанных свойств для любого способа задания функции. Однако конкретные шаги алгоритма будут зависеть от способа задания (табличный, аналитический, графический) и будут использовать разные математические аппараты.

284. Составьте математическую модель этой задачи в общем виде. Запишите алгоритм решения этой задачи в общем виде.

Математическая модель

• Дано: Функция $f$ задана дискретным множеством упорядоченных пар $T = \{(x_i, y_i) | y_i = f(x_i)\}_{i=1}^n$, где значения аргумента строго упорядочены: $x_1 < x_2 < \ldots < x_n$.
• Допущение: Для возможности говорить о промежутках, мы предполагаем, что между любыми двумя соседними узлами $(x_i, y_i)$ и $(x_{i+1}, y_{i+1})$ функция $f$ непрерывна и монотонна.
• Найти:
  1. Множество промежутков знакопостоянства:
     • $S_+ = \{I | \forall x \in I, f(x) > 0\}$ — множество промежутков, где функция положительна.
     • $S_- = \{I | \forall x \in I, f(x) < 0\}$ — множество промежутков, где функция отрицательна.
  2. Множество промежутков монотонности:
     • $M_{inc} = \{I | \forall x_a, x_b \in I: x_a < x_b \Rightarrow f(x_a) < f(x_b)\}$ — множество промежутков возрастания.
     • $M_{dec} = \{I | \forall x_a, x_b \in I: x_a < x_b \Rightarrow f(x_a) > f(x_b)\}$ — множество промежутков убывания.

Алгоритм решения задачи в общем виде

Ниже представлены обобщенные алгоритмы для нахождения искомых множеств промежутков.

Алгоритм 1: Определение промежутков знакопостоянства

1. Создать список граничных точек $B$, изначально содержащий $x_1$ и $x_n$.
2. Для $i$ от $1$ до $n$: если $y_i=0$, добавить $x_i$ в $B$.
3. Для $i$ от $1$ до $n-1$: если $y_i \cdot y_{i+1} < 0$, вычислить корень $x_0 \in (x_i, x_{i+1})$ (например, через линейную интерполяцию $x_0 = x_i - y_i \frac{x_{i+1}-x_i}{y_{i+1}-y_i}$) и добавить $x_0$ в $B$.
4. Отсортировать и удалить дубликаты из списка $B = \{b_1, b_2, \ldots, b_k\}$.
5. Инициализировать пустые множества $S_+$ и $S_-$.
6. Для $j$ от $1$ до $k-1$:
   1. Рассмотреть интервал $I_j = (b_j, b_{j+1})$.
   2. Определить знак функции на этом интервале. Поскольку на $I_j$ нет корней, знак постоянен. Его можно определить по знаку $y_i$ для любого $x_i$ из исходной таблицы, попадающего в этот интервал, или из его окрестности.
   3. Если знак "плюс", добавить $I_j$ в $S_+$. Если "минус", добавить в $S_-$.
7. Вернуть множества $S_+$ и $S_-$.

Алгоритм 2: Определение промежутков монотонности

1. Инициализировать пустые множества $M_{inc}$ и $M_{dec}$.
2. Инициализировать переменные: $start\_point = x_1$, $current\_trend = \text{null}$.
3. Для $i$ от $1$ до $n-1$:
   1. Определить локальный тренд $new\_trend$ на $[x_i, x_{i+1}]$:
      • 'возрастание', если $y_{i+1} > y_i$.
      • 'убывание', если $y_{i+1} < y_i$.
      • 'постоянство', если $y_{i+1} = y_i$.
   2. Если $current\_trend$ равен $null$, присвоить $current\_trend = new\_trend$.
   3. Если $new\_trend$ не совпадает с $current\_trend$ (или $i=n-1$):
      1. Сформировать промежуток $I = [start\_point, x_i]$ (или $[start\_point, x_n]$ для последнего шага).
      2. Если $current\_trend$ — 'возрастание', добавить $I$ в $M_{inc}$.
      3. Если $current\_trend$ — 'убывание', добавить $I$ в $M_{dec}$.
      4. Обновить: $start\_point = x_i$, $current\_trend = new\_trend$.
4. Вернуть множества $M_{inc}$ и $M_{dec}$.

Ответ: Математическая модель формализует задачу через исходные данные (упорядоченное множество точек), допущения (непрерывность и монотонность между точками) и искомые результаты (множества промежутков). Общие алгоритмы решения предоставляют пошаговые процедуры для нахождения этих множеств путем анализа знаков и сравнения значений функции в соседних узлах таблицы.