Номер 4, страница 300 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

К § 4 «Неравенства с одной переменной»

Нарисуйте с помощью графического редактора координатную прямую. Проиллюстрируйте решение примеров 98, 99, 106. Какие инструменты графического редактора помогли наглядно продемонстрировать ход решения?

Поскольку условия примеров 98, 99 и 106 не предоставлены в задании, для демонстрации решения будут использованы типичные неравенства из данной темы.

Решим линейное неравенство $5x - 7 > 3$.

1. Перенесем свободные члены в правую часть неравенства, изменив знак:

$5x > 3 + 7$

$5x > 10$

2. Разделим обе части неравенства на положительное число 5. Знак неравенства при этом не меняется:

$x > 2$

Решением неравенства является числовой промежуток $(2; +\infty)$.

Проиллюстрируем решение на координатной прямой. Отмечаем точку 2. Так как неравенство строгое ($>$), точка изображается "выколотой" (пустым кружком). Решения находятся правее этой точки, поэтому заштриховываем область справа от 2.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

Решим неравенство $3(x - 1) \le 8 - 2x$.

1. Раскроем скобки в левой части:

$3x - 3 \le 8 - 2x$

2. Перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть, а свободные члены — в правую:

$3x + 2x \le 8 + 3$

$5x \le 11$

3. Разделим обе части на 5:

$x \le \frac{11}{5}$

$x \le 2.2$

Решением является числовой промежуток $(-\infty; 2.2]$.

Иллюстрация на координатной прямой: отмечаем точку 2.2. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точка изображается "закрашенной" (сплошным кружком). Решения находятся левее этой точки, поэтому штрихуем область слева от 2.2.

Ответ: $x \in (-\infty; 2.2]$.

Решим двойное неравенство $-5 < 2x + 1 \le 9$.

1. Данное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} 2x + 1 > -5 \\ 2x + 1 \le 9 \end{cases}$

2. Решим каждое неравенство по отдельности. Можно также решать двойное неравенство, выполняя операции со всеми тремя частями одновременно. Вычтем 1 из всех частей:

$-5 - 1 < 2x \le 9 - 1$

$-6 < 2x \le 8$

3. Разделим все части на 2:

$-3 < x \le 4$

Решением является числовой промежуток $(-3; 4]$.

На координатной прямой отмечаем точки -3 и 4. Точка -3 "выколотая", так как неравенство строгое ($>$). Точка 4 "закрашенная", так как неравенство нестрогое ($\le$). Решением является интервал между этими точками, который мы и заштриховываем.

Ответ: $x \in (-3; 4]$.

Для наглядной демонстрации решения неравенств на координатной прямой с помощью графического редактора (например, встроенного в текстовый процессор или специализированной программы) полезны следующие инструменты:

• Линия/Отрезок: для рисования самой координатной оси и перпендикулярных засечек для обозначения чисел.
• Стрелка: для указания положительного направления оси (обычно вставляется на правый конец линии).
• Текст: для подписи чисел на оси (например, 0, 2, -3) и обозначения самой оси (например, переменной $x$).
• Эллипс/Круг: для изображения точек на оси. Важна возможность настройки заливки и контура:
  • Для строгих неравенств (<, $>$) используется круг без заливки ("выколотая точка").
  • Для нестрогих неравенств ($\le$, $\ge$) используется круг с заливкой ("закрашенная точка").
• Прямоугольник или толстая линия: для штриховки (выделения) числового промежутка, который является решением неравенства. Использование полупрозрачного цвета для заливки прямоугольника позволяет видеть ось под выделенной областью.
• Группировка объектов: после создания всех элементов (ось, точки, штриховка, текст) их можно сгруппировать, чтобы они вели себя как единый объект. Это удобно при перемещении или изменении размера иллюстрации.