Номер 11, страница 302 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Парабола задана уравнением $y = ax^2 + bx + c$. Запишите алгоритм для определения таких характеристик параболы: направление ветвей, координаты вершины, точки пересечения с осями координат, входными данными для которого являются значения $a, b, c$.

Пользуясь этим алгоритмом, определите, какой участок параболы целесообразно изобразить на графике. Автоматизируйте процесс составления соответствующей таблицы значений функции и постройте график по полученной таблице. Как вы будете выбирать значения аргумента функции для этой таблицы, чтобы график получился как можно более точным?

Алгоритм для определения характеристик параболы

Входные данные: коэффициенты $a, b, c$ для уравнения параболы $y = ax^2 + bx + c$.

Шаг 1: Определение направления ветвей.

Анализируем знак старшего коэффициента $a$.

- Если $a > 0$, то ветви параболы направлены вверх.

- Если $a < 0$, то ветви параболы направлены вниз.

Шаг 2: Нахождение координат вершины.

Вершина параболы имеет координаты $(x_v, y_v)$.

- Абсцисса вершины вычисляется по формуле: $x_v = -\frac{b}{2a}$.

- Ордината вершины находится подстановкой $x_v$ в уравнение параболы: $y_v = a(x_v)^2 + b(x_v) + c$.

Шаг 3: Нахождение точек пересечения с осями координат.

Пересечение с осью ординат (Oy):

Для нахождения этой точки нужно принять $x = 0$.

$y = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$.

Координаты точки пересечения с осью Oy: $(0, c)$.

Пересечение с осью абсцисс (Ox):

Для нахождения этих точек нужно решить квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$, приняв $y = 0$.

1. Вычисляем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.

2. Анализируем знак дискриминанта:

- Если $D > 0$, парабола пересекает ось Ox в двух точках. Их абсциссы (корни уравнения) находятся по формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Координаты точек: $(x_1, 0)$ и $(x_2, 0)$.

- Если $D = 0$, парабола касается оси Ox в одной точке — своей вершине. Абсцисса точки касания: $x = -\frac{b}{2a}$. Координаты точки: $(-\frac{b}{2a}, 0)$.

- Если $D < 0$, парабола не пересекает ось Ox. Корней у уравнения нет.

Ответ: Вышеописанный трехшаговый алгоритм позволяет найти ключевые характеристики параболы (направление ветвей, координаты вершины, точки пересечения с осями) по ее коэффициентам $a, b, c$.

Определение участка для построения и автоматизация процесса

Используя характеристики, полученные с помощью алгоритма, можно определить, какой участок параболы наиболее важен для изображения на графике.

Выбор участка для изображения: Целесообразно изображать участок параболы, в центре которого находится её вершина $(x_v, y_v)$. Этот участок наиболее информативен, так как он включает точку экстремума (минимум или максимум) и наглядно демонстрирует симметрию графика. Границы графика по оси $x$ следует выбирать так, чтобы в них попали все ключевые точки: вершина, точки пересечения с осями координат (если они существуют).

Автоматизация составления таблицы и построение графика:

1. Центральная точка. В качестве основы для таблицы значений выбираем вершину параболы $(x_v, y_v)$, так как она является точкой, относительно которой график симметричен.

2. Выбор симметричных точек. Задаем некоторый шаг $h$ (например, $h=1$ или $h=0.5$) и выбираем значения аргумента $x$ симметрично относительно $x_v$: $x_v \pm h$, $x_v \pm 2h$, $x_v \pm 3h$ и т.д. Благодаря свойству симметрии параболы, значения функции в точках, равноудаленных от вершины, будут одинаковы: $y(x_v - k \cdot h) = y(x_v + k \cdot h)$. Это позволяет сократить вычисления.

3. Составление таблицы. На основе этих точек составляется таблица пар $(x, y)$.

4. Построение графика. На координатной плоскости отмечаются все найденные точки: вершина, точки пересечения с осями и дополнительные точки из таблицы. Затем они соединяются плавной кривой, учитывая направление ветвей параболы.

Ответ: Для построения графика следует выбирать участок, центрированный на вершине параболы, и включающий все точки пересечения с осями. Автоматизация составления таблицы значений достигается путем симметричного выбора точек относительно вершины, что упрощает вычисления и обеспечивает точное отображение формы параболы.

Выбор значений аргумента для более точного графика

Чтобы график получился как можно более точным, необходимо правильно выбрать значения аргумента ($x$) для таблицы. Основные принципы выбора следующие:

1. Плотность точек. Чем больше точек мы вычислим и нанесем на график, тем точнее будет кривая. Для повышения точности следует уменьшать шаг $h$ между соседними значениями $x$. Например, вместо шага $h=1$ можно взять $h=0.5$ или $h=0.25$. Это особенно важно вблизи вершины, где кривизна параболы максимальна.

2. Диапазон значений. Выбранный диапазон значений $x$ должен быть достаточным, чтобы показать общую форму параболы. Он должен быть центрирован вокруг абсциссы вершины $x_v$. Диапазон зависит от "ширины" параболы, которая определяется коэффициентом $a$:

- Если $|a|$ — большое число (например, $a=5$ или $a=-10$), парабола будет "узкой". В этом случае достаточно небольшого диапазона $x$ вокруг вершины, но с малым шагом, чтобы детально прорисовать изгиб.

- Если $|a|$ — малое число (например, $a=0.1$ или $a=-0.2$), парабола будет "широкой". Здесь потребуется больший диапазон значений $x$, чтобы график не выглядел как почти прямая линия.

3. Включение ключевых точек. Всегда следует включать в таблицу и на график ключевые точки, найденные ранее: вершину $(x_v, y_v)$, точку пересечения с осью Oy $(0, c)$, и точки пересечения с осью Ox $(x_{1,2}, 0)$ (если $D \ge 0$). Эти точки являются "опорными" для построения.

Ответ: Для получения более точного графика следует выбирать значения аргумента $x$ чаще (с меньшим шагом) и симметрично относительно вершины параболы, обязательно включая в расчет все ключевые точки (вершину, пересечения с осями). Масштаб и шаг подбираются в зависимости от коэффициента $a$.