Номер 15, страница 303 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

К § 15 «Процентные расчёты»

Как использовать калькулятор для вычислений по формуле сложных процентов? Решите задачи 523, 524 с помощью калькулятора.

Проанализируйте задачи этого параграфа. Найдите те из них, которые имеют одинаковые математические модели. Создайте список «типовых» задач, связанных с процентными расчётами. Запишите алгоритм для решения каждой задачи в общем виде, опишите, что является входными и выходными данными для этого алгоритма.

Как использовать калькулятор для вычислений по формуле сложных процентов? Решите задачи 523, 524 с помощью калькулятора.

Формула сложных процентов используется для расчёта итоговой суммы с учётом регулярного начисления процентов на основную сумму вместе с уже накопленными процентами. Общая формула выглядит так:

$S_n = S \cdot (1 + \frac{p}{100})^n$

где:

• $S$ — начальная сумма (вклад, стоимость товара и т.д.);

• $p$ — процентная ставка за один период начисления;

• $n$ — количество периодов начисления;

• $S_n$ — итоговая сумма через $n$ периодов.

Алгоритм использования калькулятора:

1. Вычислите десятичное представление процента: $p / 100$.

2. Прибавьте 1 к полученному значению. Это будет множитель роста за один период.

3. Используя кнопку возведения в степень (обычно обозначается как x^y, ^ или y^x), возведите множитель роста в степень $n$.

4. Умножьте начальную сумму $S$ на результат, полученный в предыдущем шаге.

Поскольку условия задач 523 и 524 не предоставлены, приведем типовые примеры и их решения.

Задача 523 (пример): Вкладчик положил в банк 50 000 рублей под 7% годовых с ежегодной капитализацией. Какая сумма будет на счёте через 4 года?

Решение:

В этой задаче: $S = 50000$, $p = 7$, $n = 4$.

Подставляем значения в формулу: $S_4 = 50000 \cdot (1 + \frac{7}{100})^4 = 50000 \cdot (1.07)^4$.

Вычисления на калькуляторе:

1. Набираем 1.07.

2. Нажимаем кнопку возведения в степень (x^y).

3. Набираем 4 и нажимаем "=". Получаем примерно 1.310796.

4. Умножаем результат на 50000: $1.310796 \cdot 50000 = 65539.8$.

Ответ: Через 4 года на счёте будет 65 539,8 рублей.

Задача 524 (пример): Цена на товар, составлявшая 12 000 рублей, ежегодно увеличивается на 15%. Какой будет цена на этот товар через 3 года?

Решение:

Это также задача на сложные проценты. Здесь: $S = 12000$, $p = 15$, $n = 3$.

Подставляем значения в формулу: $S_3 = 12000 \cdot (1 + \frac{15}{100})^3 = 12000 \cdot (1.15)^3$.

Вычисления на калькуляторе:

1. Набираем 1.15.

2. Нажимаем кнопку возведения в степень (x^y).

3. Набираем 3 и нажимаем "=". Получаем 1.520875.

4. Умножаем результат на 12000: $1.520875 \cdot 12000 = 18250.5$.

Ответ: Через 3 года цена на товар составит 18 250,5 рублей.

Проанализируйте задачи этого параграфа. Найдите те из них, которые имеют одинаковые математические модели. Создайте список «типовых» задач, связанных с процентными расчётами. Запишите алгоритм для решения каждой задачи в общем виде, опишите, что является входными и выходными данными для этого алгоритма.

Поскольку текст параграфа недоступен, проанализируем и выделим несколько основных типовых задач на проценты, которые чаще всего встречаются и имеют схожие математические модели.

Тип 1: Нахождение процента от числа

Описание: Найти заданный процент от некоторого числа.

Входные данные: Число $A$ (принимаемое за 100%) и значение процента $p$.

Выходные данные: Число $B$, которое составляет $p$% от $A$.

Алгоритм решения: Чтобы найти $p$% от числа $A$, нужно умножить число $A$ на дробь, соответствующую проценту: $B = A \cdot \frac{p}{100}$.

Пример: Найти 20% от 150. Решение: $150 \cdot \frac{20}{100} = 30$.

Тип 2: Нахождение числа по его проценту

Описание: Найти целое число, если известна его часть, выраженная в процентах.

Входные данные: Число $B$, которое составляет $p$% от искомого числа.

Выходные данные: Исходное число $A$ (100%).

Алгоритм решения: Чтобы найти число $A$ по его части $B$, составляющей $p$%, нужно эту часть разделить на дробь, соответствующую проценту: $A = B / \frac{p}{100} = B \cdot \frac{100}{p}$.

Пример: Найти число, если 30% от него равны 45. Решение: $45 / \frac{30}{100} = 45 \cdot \frac{100}{30} = 150$.

Тип 3: Нахождение процентного отношения двух чисел

Описание: Определить, сколько процентов одно число составляет от другого.

Входные данные: Два числа, $B$ и $A$.

Выходные данные: Процент $p$, который число $B$ составляет от числа $A$.

Алгоритм решения: Чтобы найти, сколько процентов число $B$ составляет от $A$, нужно найти их отношение и умножить на 100: $p = \frac{B}{A} \cdot 100\%$.

Пример: Сколько процентов составляет число 40 от 200? Решение: $\frac{40}{200} \cdot 100\% = 0.2 \cdot 100\% = 20\%$.

Тип 4: Увеличение или уменьшение числа на заданный процент

Описание: Найти новое значение числа после его изменения на $p$ процентов.

Входные данные: Исходное число $A$ и процент изменения $p$.

Выходные данные: Новое число $B$.

Алгоритм решения:

• При увеличении: $B = A + A \cdot \frac{p}{100} = A \cdot (1 + \frac{p}{100})$.

• При уменьшении: $B = A - A \cdot \frac{p}{100} = A \cdot (1 - \frac{p}{100})$.

Пример увеличения: Увеличить число 250 на 10%. Решение: $250 \cdot (1 + \frac{10}{100}) = 250 \cdot 1.1 = 275$.

Пример уменьшения: Уменьшить число 250 на 10%. Решение: $250 \cdot (1 - \frac{10}{100}) = 250 \cdot 0.9 = 225$.

Задачи на сложные проценты (как в задачах 523, 524) являются многократным применением математической модели "увеличение числа на заданный процент".

Ответ: Представлен список из четырех типовых задач на процентные расчеты с описанием их математических моделей, входных/выходных данных и алгоритмов решения.