Номер 17, страница 303 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

К § 17 «Основные правила комбинаторики»

Как можно проиллюстрировать с помощью табличного редактора правило суммы; правило произведения? Выберите задачи из этого параграфа и проиллюстрируйте их.

Табличный редактор, такой как Microsoft Excel или Google Sheets, является удобным инструментом для визуализации и решения комбинаторных задач. Он позволяет наглядно представить все возможные исходы, перечислить их и подсчитать общее количество, что помогает лучше понять основные правила комбинаторики.

Правило суммы

Правило суммы применяется, когда нужно выбрать один объект из нескольких взаимоисключающих наборов. Если объект A можно выбрать $m$ способами, а объект B — $n$ способами, причем выбор A исключает выбор B, то выбрать «либо A, либо B» можно $m + n$ способами.

Задача: В школьной столовой на выбор есть 4 вида пирожков и 3 вида булочек. Сколькими способами можно выбрать одну единицу выпечки?

Иллюстрация в табличном редакторе:

Для иллюстрации можно создать два отдельных списка в разных столбцах.

1. В столбец A внесем все виды пирожков: «С капустой», «С картошкой», «С мясом», «С яблоком».
2. В столбец B внесем все виды булочек: «С маком», «С корицей», «С изюмом».

Поскольку ученик выбирает либо пирожок, либо булочку, эти выборы взаимоисключающие. Чтобы найти общее количество способов, нужно сложить количество элементов в каждом списке. В табличном редакторе можно использовать функцию для подсчета непустых ячеек, например, СЧЁТЗ() (в английской версии — COUNTA()).

Общее число способов = (количество пирожков) + (количество булочек).

В таблице это будет выглядеть как расчет: =СЧЁТЗ(A:A) + СЧЁТЗ(B:B).

Подставив значения, получаем: $4 + 3 = 7$ способов.

Ответ: 7.

Правило произведения

Правило произведения используется, когда выбор состоит из нескольких последовательных шагов. Если первый шаг можно выполнить $m$ способами, а второй шаг (независимо от первого) — $n$ способами, то всю последовательность из двух шагов можно выполнить $m \times n$ способами.

Задача: В меню кафе есть 3 вида первого блюда и 5 видов второго блюда. Сколькими способами можно составить комплексный обед из одного первого и одного второго блюда?

Иллюстрация в табличном редакторе:

Для правила произведения идеально подходит двумерная таблица (матрица).

1. Заголовки строк (например, в ячейках A2, A3, A4) будут представлять первые блюда: «Борщ», «Суп-харчо», «Куриный суп».
2. Заголовки столбцов (например, в ячейках B1, C1, D1, E1, F1) будут представлять вторые блюда: «Плов», «Гуляш», «Котлета с пюре», «Рыба с рисом», «Пельмени».

На пересечении каждой строки и каждого столбца образуется уникальная комбинация обеда. Например, в ячейке C2 будет комбинация «Борщ» и «Гуляш». Вся область таблицы, заполненная комбинациями, и будет наглядной иллюстрацией всех возможных вариантов.

Общее количество комбинаций равно количеству ячеек в этой таблице, то есть произведению количества строк (первых блюд) на количество столбцов (вторых блюд).

В таблице это будет выглядеть как расчет: =СЧЁТЗ(A2:A4) * СЧЁТЗ(B1:F1).

Подставив значения, получаем: $3 \times 5 = 15$ способов.

Ответ: 15.