Номер 12, страница 302 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Пользуясь таблицей, приведённой в § 12, запишите алгоритм для решения квадратного неравенства $ax^2 + bx + c > 0$, входными данными для которого являются значения $a, b, c$.

Какие входные данные надо добавить к этому алгоритму и как изменить его, чтобы с его помощью решать также неравенства $ax^2 + bx + c < 0, ax^2 + bx + c \geq 0, ax^2 + bx + c \leq 0$?

Пользуясь таблицей, приведённой в § 12, запишите алгоритм для решения квадратного неравенства $ax^2 + bx + c > 0$, входными данными для которого являются значения $a, b, c$.

Алгоритм решения квадратного неравенства вида $ax^2 + bx + c > 0$ основывается на нахождении корней соответствующего квадратного уравнения и анализе знака коэффициента $a$.

1. Получить входные данные: коэффициенты $a, b, c$. Убедиться, что $a \neq 0$, так как в противном случае неравенство не является квадратным.

2. Вычислить дискриминант квадратного трехчлена по формуле: $D = b^2 - 4ac$.

3. Проанализировать значение дискриминанта $D$:

   • Если $D > 0$, то квадратный трехчлен имеет два различных корня.
     Найти корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ по формулам: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$.
     Далее, проанализировать знак коэффициента $a$:

     • Если $a > 0$ (ветви параболы направлены вверх), то трехчлен положителен на промежутках вне корней. Решение: $x \in (-\infty; x_1) \cup (x_2; \infty)$ (при условии $x_1 < x_2$).

     • Если $a < 0$ (ветви параболы направлены вниз), то трехчлен положителен на промежутке между корнями. Решение: $x \in (x_1; x_2)$ (при условии $x_1 < x_2$).

   • Если $D = 0$, то квадратный трехчлен имеет один корень (кратности 2).
     Найти корень по формуле: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
     Далее, проанализировать знак коэффициента $a$:

     • Если $a > 0$, трехчлен положителен при всех значениях $x$, кроме $x_0$. Решение: $x \in (-\infty; x_0) \cup (x_0; \infty)$.

     • Если $a < 0$, трехчлен никогда не бывает положительным (он либо равен нулю в точке $x_0$, либо отрицателен). Решений нет. Ответ: $\emptyset$.

   • Если $D < 0$, то квадратный трехчлен не имеет действительных корней.
     Далее, проанализировать знак коэффициента $a$:

     • Если $a > 0$, трехчлен положителен при любых значениях $x$. Решение: $x \in (-\infty; \infty)$.

     • Если $a < 0$, трехчлен отрицателен при любых значениях $x$. Решений нет. Ответ: $\emptyset$.

Ответ: Вышеописанный алгоритм позволяет найти решение неравенства $ax^2 + bx + c > 0$.

Какие входные данные надо добавить к этому алгоритму и как изменить его, чтобы с его помощью решать также неравенства $ax^2 + bx + c < 0$, $ax^2 + bx + c \ge 0$, $ax^2 + bx + c \le 0$?

Для того чтобы алгоритм мог решать все четыре типа квадратных неравенств, необходимо добавить еще одно входное данное и модифицировать заключительный шаг алгоритма.

Что добавить:

К входным данным $a, b, c$ нужно добавить еще один параметр – знак неравенства. Этот параметр может быть представлен в виде символа ('<', '>', '≤', '≥') или кода, который однозначно определяет тип решаемого неравенства.

Как изменить алгоритм:

Первые два шага алгоритма (получение коэффициентов и вычисление дискриминанта) остаются без изменений. Шаг 3, который анализирует дискриминант и определяет решение, должен быть расширен. После нахождения корней (или установления их отсутствия) и анализа знака коэффициента $a$, итоговый ответ формируется на основе нового входного параметра – знака неравенства.

Изменения в шаге 3:

• Если $D > 0$ (корни $x_1, x_2$):

  • При $a>0$: для знака '<' решение $(x_1; x_2)$, для '≤' – $[x_1; x_2]$, для '>' – $(-\infty; x_1) \cup (x_2; \infty)$, для '≥' – $(-\infty; x_1] \cup [x_2; \infty)$.

  • При $a<0$: для знака '<' решение $(-\infty; x_1) \cup (x_2; \infty)$, для '≤' – $(-\infty; x_1] \cup [x_2; \infty)$, для '>' – $(x_1; x_2)$, для '≥' – $[x_1; x_2]$.

• Если $D = 0$ (корень $x_0$):

  • При $a>0$: для '<' – решений нет ($\emptyset$), для '≤' – $x = x_0$, для '>' – $(-\infty; x_0) \cup (x_0; \infty)$, для '≥' – $(-\infty; \infty)$.

  • При $a<0$: для '<' – $(-\infty; x_0) \cup (x_0; \infty)$, для '≤' – $(-\infty; \infty)$, для '>' – решений нет ($\emptyset$), для '≥' – $x = x_0$.

• Если $D < 0$ (корней нет):

  • При $a>0$: для '<' и '≤' – решений нет ($\emptyset$), для '>' и '≥' – $(-\infty; \infty)$.

  • При $a<0$: для '<' и '≤' – $(-\infty; \infty)$, для '>' и '≥' – решений нет ($\emptyset$).

Ответ: Необходимо добавить входной параметр, отвечающий за знак неравенства, и на последнем шаге алгоритма выбирать вид решения в зависимости от комбинации этого знака, знака дискриминанта и знака коэффициента $a$.