Номер 9, страница 301 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

С помощью табличного редактора задайте какую-либо функцию $y = f(x)$ таблично и постройте её график. Какие изменения надо внести в таблицу, чтобы построить график функции $y = kf(x)$? Как сделать это автоматически? Постройте таким образом несколько графиков функции $y = kf(x)$ для различных значений $k$.

Постройте график какой-либо функции $y = f(x)$ с помощью графического редактора. Какие инструменты графического редактора надо использовать, чтобы получить из этого графика график функции $y = kf(x)$ при $k > 1$; при $0 < k < 1$; при $k = -1$? Как можно использовать полученные результаты, чтобы получить график функции $y = kf(x)$ при $k < 0$ и $k \neq -1$?

Часть 1: Построение с помощью табличного редактора

Рассмотрим весь процесс на примере функции $y = \sin(x)$. В качестве табличного редактора можно использовать Microsoft Excel, Google Sheets, LibreOffice Calc или другие аналогичные программы.

С помощью табличного редактора задайте какую-либо функцию $y = f(x)$ таблично и постройте её график.

1. Откройте табличный редактор. Создайте два столбца. Первый назовем «x» (например, столбец A), второй – «y = f(x)» (например, столбец B).

2. Заполните столбец «x» значениями аргумента. Для наглядности графика $y = \sin(x)$ возьмем значения от $-2\pi$ до $2\pi$ с шагом $\pi/8$. В ячейку A2 введите формулу для вычисления $-2\pi$ (например, =-2*ПИ() в русскоязычной версии Excel или =-2*PI() в англоязычной). В ячейку A3 введите формулу =A2+ПИ()/8, чтобы задать шаг, и растяните (скопируйте) эту формулу вниз до тех пор, пока значение не достигнет $2\pi$.

3. В столбец «y = f(x)» введите формулу для вычисления значений функции. В ячейку B2 введите =SIN(A2) (или =СИН(A2)) и растяните эту формулу на весь диапазон значений x.

4. Выделите оба столбца с данными (A и B) и воспользуйтесь инструментом для построения диаграмм (обычно находится во вкладке «Вставка»). Выберите тип диаграммы «Точечная с гладкими кривыми и маркерами». Редактор построит график на основе ваших данных.

Ответ: Чтобы задать функцию таблично, нужно создать два столбца для значений $x$ и $f(x)$, а затем использовать встроенный инструмент построения диаграмм для визуализации данных в виде графика.

Какие изменения надо внести в таблицу, чтобы построить график функции $y = kf(x)$? Как сделать это автоматически?

Чтобы построить график функции $y = kf(x)$, необходимо добавить в таблицу новый столбец, в котором каждое значение функции $f(x)$ будет умножено на коэффициент $k$.

Для автоматизации этого процесса следует:

1. Выделить отдельную ячейку (например, D1) для хранения значения коэффициента $k$. Впишите в нее любое число, например, 2.

2. Создать новый столбец (например, столбец C) с заголовком «y = k*f(x)».

3. В первую ячейку этого столбца (C2) ввести формулу, которая умножает значение из столбца B на значение из ячейки D1. Крайне важно использовать абсолютную ссылку на ячейку с коэффициентом $k$, чтобы она не изменялась при копировании формулы вниз. Формула будет выглядеть так: =B2*$D$1. Знак доллара $ перед буквой столбца и номером строки фиксирует ссылку.

4. Растянуть эту формулу на весь столбец.

5. Добавить новый ряд данных на существующий график (используя значения из столбцов A и C). Теперь, если вы измените значение в ячейке D1, график функции $y = kf(x)$ перестроится автоматически.

Ответ: Необходимо добавить в таблицу новый столбец, значения которого вычисляются по формуле, умножающей значения $f(x)$ на коэффициент $k$. Для автоматизации процесса коэффициент $k$ следует вынести в отдельную ячейку и ссылаться на нее в формуле с помощью абсолютной адресации.

Постройте таким образом несколько графиков функции $y = kf(x)$ для различных значений $k$.

Чтобы построить несколько графиков на одной координатной плоскости, можно создать несколько столбцов, каждый для своего значения $k$. Например:

• Столбец C (для $k = 2$): формула в C2 =B2*2
• Столбец D (для $k = 0.5$): формула в D2 =B2*0.5
• Столбец E (для $k = -1$): формула в E2 =B2*(-1)
• Столбец F (для $k = -2$): формула в F2 =B2*(-2)

После заполнения всех столбцов выделите столбец A (значения x) и столбцы B, C, D, E, F (значения y) и постройте общую диаграмму. На ней будут одновременно отображены графики для $y=f(x)$ и нескольких вариантов $y=kf(x)$, что позволит наглядно их сравнить.

Ответ: Создав в таблице отдельные столбцы для каждого значения $k$ и добавив их как новые ряды данных на диаграмму, можно построить и сравнить несколько графиков функции $y = kf(x)$ одновременно.

Часть 2: Построение с помощью графического редактора

Предположим, у нас есть изображение с графиком некоторой функции $y=f(x)$, например, параболы $y=x^2-1$. В качестве графического редактора можно использовать Adobe Photoshop, GIMP, Inkscape или любой другой, поддерживающий трансформации объектов.

Какие инструменты графического редактора надо использовать, чтобы получить из этого графика график функции $y = kf(x)$ при $k > 1$?

Чтобы получить график $y=kf(x)$ из графика $y=f(x)$ при $k > 1$, необходимо выполнить вертикальное растяжение графика от оси абсцисс (Ox) в $k$ раз. Ордината (координата y) каждой точки графика умножается на $k$, а абсцисса (координата x) остается неизменной. Для этого в графическом редакторе нужно:

1. Выделить слой или объект с графиком.

2. Активировать инструмент «Масштабирование» (Scale) или «Свободная трансформация» (Free Transform).

3. Отключить опцию сохранения пропорций (chain icon / "сохранять соотношение сторон").

4. Увеличить масштаб по вертикали в $k$ раз (например, для $k=2$ установить вертикальный масштаб 200%), оставив горизонтальный масштаб без изменений (100%).

Ответ: Нужно использовать инструмент «Масштабирование» («Трансформация») для растяжения изображения по вертикали в $k$ раз относительно оси Ox.

...при $0 < k < 1$?

В этом случае необходимо выполнить вертикальное сжатие графика к оси абсцисс (Ox) в $1/k$ раз (или с коэффициентом $k$). Алгоритм действий аналогичен предыдущему пункту, но вместо увеличения вертикального масштаба его нужно уменьшить. Например, для $k=0.5$ вертикальный масштаб нужно установить равным 50%.

Ответ: Нужно использовать инструмент «Масштабирование» («Трансформация») для сжатия изображения по вертикали с коэффициентом $k$ относительно оси Ox.

...при $k = -1$?

Чтобы получить график функции $y = -f(x)$, необходимо отразить исходный график симметрично относительно оси абсцисс (Ox). Все положительные значения $y$ станут отрицательными, и наоборот. Для этого в графических редакторах есть специальный инструмент:

1. Выделить слой или объект с графиком.

2. Применить команду «Отразить по вертикали» (Flip Vertical) из меню трансформации или редактирования.

Ответ: Нужно использовать инструмент «Отразить по вертикали» для симметричного отображения графика относительно оси Ox.

Как можно использовать полученные результаты, чтобы получить график функции $y = kf(x)$ при $k < 0$ и $k \neq -1$?

Преобразование для отрицательного $k$ (кроме -1) является комбинацией двух ранее рассмотренных преобразований. Любое такое $k$ можно представить в виде произведения $k = -1 \cdot |k|$, где $|k|$ — положительное число (модуль $k$).

Таким образом, чтобы построить график $y = kf(x)$, нужно последовательно применить к исходному графику $y=f(x)$ два преобразования:

1. Вертикальное масштабирование с коэффициентом $|k|$. Это будет растяжение (если $|k|>1$) или сжатие (если $0 < |k| < 1$).

2. Отражение относительно оси Ox.

Порядок выполнения этих двух преобразований не имеет значения, результат будет идентичным. Например, для получения графика $y = -2f(x)$, нужно либо сначала растянуть график $y=f(x)$ в 2 раза по вертикали, а затем отразить результат, либо сначала отразить, а потом растянуть.

Ответ: Необходимо выполнить комбинацию из двух преобразований: вертикального масштабирования с коэффициентом $|k|$ и симметричного отражения относительно оси Ox. Порядок выполнения этих преобразований не важен.