Номер 2, страница 300 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Каким образом с помощью графического редактора продемонстрировать свойства числовых неравенств? Какие инструменты редактора можно при этом использовать?

Продемонстрировать свойства числовых неравенств с помощью графического редактора удобнее всего, используя числовую прямую. Это позволяет наглядно представить числа как точки на прямой и показать, как меняется их взаимное расположение при различных математических операциях. Для этого можно использовать любой графический редактор, от простого (Paint) до более продвинутого (GIMP, Inkscape), так как требуются лишь базовые инструменты: создание линий, фигур, текста, а также копирование, масштабирование и отражение объектов.

Свойство 1: Транзитивность

Если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$.

Порядок демонстрации:

1. С помощью инструмента «Линия» нарисуйте горизонтальную числовую ось.
2. Инструментом «Фигура» (например, «Круг») или «Маркер» отметьте на оси три точки.
3. Используя инструмент «Текст», подпишите их. Сначала поставьте точку $c$. Затем, так как $b > c$, поставьте точку $b$ правее точки $c$. Наконец, так как $a > b$, поставьте точку $a$ правее точки $b$.
4. Визуально становится очевидно, что точка $a$ расположена правее точки $c$, что и иллюстрирует неравенство $a > c$. Для лучшего восприятия точки можно выделить разными цветами.

Ответ: Свойство транзитивности демонстрируется через последовательное расположение точек на числовой прямой, где их взаимное положение ($a$ правее $b$, $b$ правее $c$) наглядно показывает итоговое соотношение ($a$ правее $c$).

Свойство 2: Прибавление числа к обеим частям неравенства

Если $a > b$, то для любого числа $c$ верно $a + c > b + c$.

Порядок демонстрации:

1. Нарисуйте числовую ось и отметьте на ней точки $a$ и $b$ так, чтобы $a$ была правее $b$.
2. Для случая $c > 0$ нарисуйте отдельный вектор (стрелку), направленный вправо, который символизирует прибавление числа $c$.
3. Используя инструменты «Копировать» и «Вставить», создайте две копии этого вектора.
4. Приложите начало первого вектора к точке $b$ — его конец укажет на положение точки $b+c$.
5. Приложите начало второго вектора к точке $a$ — его конец укажет на положение точки $a+c$.
6. Так как обе точки были смещены на одинаковое расстояние в одном направлении, их относительный порядок сохранился: $a+c$ по-прежнему находится правее $b+c$.
7. Аналогично можно показать случай $c < 0$: вектор смещения будет направлен влево, но взаимное расположение точек также не изменится.

Ответ: Свойство иллюстрируется применением к точкам $a$ и $b$ одинакового вектора смещения (сдвига), что наглядно показывает сохранение их взаимного порядка на числовой прямой.

Свойство 3: Умножение обеих частей неравенства на положительное число

Если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$.

Порядок демонстрации:

1. Нарисуйте числовую ось с отмеченным началом координат (точкой 0). Отметьте точки $a$ и $b$ (например, $a > b > 0$).
2. Расстояние от 0 до $a$ (длина отрезка $[0, a]$) больше, чем расстояние от 0 до $b$.
3. Умножение на $c > 1$ можно показать как операцию «Масштабирование» (растяжение) относительно точки 0. Выделите всю ось вместе с точками $a$ и $b$ и увеличьте ее масштаб. Расстояния от 0 до всех точек увеличатся пропорционально.
4. Новые точки $ac$ и $bc$ будут расположены дальше от нуля, но точка $ac$ по-прежнему будет дальше, чем $bc$. Таким образом, $ac > bc$.
5. Если $0 < c < 1$, операция будет соответствовать сжатию, но относительное положение точек, находящихся по одну сторону от нуля, сохранится.

Ответ: Свойство демонстрируется через операцию масштабирования (растяжения/сжатия) числовой оси относительно нуля. Эта операция сохраняет порядок точек, расположенных по одну сторону от нуля.

Свойство 4: Умножение обеих частей неравенства на отрицательное число

Если $a > b$ и $c < 0$, то $ac < bc$.

Порядок демонстрации:

1. Нарисуйте числовую ось с точкой 0. Отметьте точки $a$ и $b$ так, что $a > b$ (например, обе положительные).
2. Умножение на $-1$ эквивалентно симметричному отражению относительно точки 0. Это можно показать, нарисовав дуги, соединяющие точку $a$ с $-a$ и $b$ с $-b$ через центр 0. Некоторые графические редакторы имеют инструмент «Отразить», или можно просто перенести точки вручную на те же расстояния по другую сторону от нуля.
3. В результате отражения точка $a$, которая была правее точки $b$, станет точкой $-a$, которая окажется левее точки $-b$.
4. Таким образом, из $a > b$ получается $-a < -b$. Знак неравенства изменился.
5. Умножение на любое отрицательное $c$ — это комбинация масштабирования на $|c|$ и отражения. Ключевым шагом, меняющим знак неравенства, является именно отражение.

Ответ: Свойство демонстрируется операцией симметричного отражения точек относительно начала координат, которая меняет их взаимный порядок на противоположный и, следовательно, изменяет знак неравенства.