Номер 3, страница 257 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. В классе 25 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 6 человек для участия в математической олимпиаде?

Для решения этой задачи необходимо найти число сочетаний из 25 учащихся по 6, так как порядок выбора учащихся в команду не имеет значения. Если бы мы меняли учеников местами в уже сформированной команде, сама команда от этого не изменилась бы.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле биномиального коэффициента:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае, общее число учащихся $n = 25$, а размер команды $k = 6$. Подставим эти значения в формулу:

$C_{25}^6 = \frac{25!}{6!(25-6)!} = \frac{25!}{6! \cdot 19!}$

Расшифруем факториалы для проведения вычислений. Выражение $25!$ можно представить как $25 \cdot 24 \cdot ... \cdot 20 \cdot 19!$:

$C_{25}^6 = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19!}{ (6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 19!}$

Теперь можно сократить $19!$ в числителе и знаменателе:

$C_{25}^6 = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Упростим полученное выражение, последовательно сокращая множители:
$C_{25}^6 = 25 \cdot (\frac{24}{6 \cdot 4}) \cdot 23 \cdot (\frac{22}{2}) \cdot (\frac{21}{3}) \cdot (\frac{20}{5})$
$C_{25}^6 = 25 \cdot 1 \cdot 23 \cdot 11 \cdot 7 \cdot 4$
$C_{25}^6 = (25 \cdot 4) \cdot (23 \cdot 7) \cdot 11$
$C_{25}^6 = 100 \cdot 161 \cdot 11$
$C_{25}^6 = 16100 \cdot 11 = 177100$

Таким образом, существует 177 100 способов сформировать команду.

Ответ: 177100.