Номер 3, страница 255 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы в каждом числе все цифры были различными?

Для решения этой задачи нам нужно определить, сколько уникальных последовательностей из 5 цифр можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5. Поскольку все цифры в итоговом пятизначном числе должны быть различными, и мы используем все 5 предоставленных цифр, эта задача сводится к нахождению числа перестановок из 5 элементов.

Число перестановок из $n$ различных элементов обозначается как $P_n$ и вычисляется по формуле $P_n = n!$ (читается как "n факториал"), где $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1$.
В данном случае у нас 5 цифр, то есть $n=5$.

Можно рассуждать и по-другому, рассматривая каждую позицию в пятизначном числе:
- На первую позицию (разряд десятков тысяч) можно выбрать любую из 5 цифр.
- После выбора первой цифры, для второй позиции (разряд тысяч) останется 4 доступные цифры.
- Для третьей позиции (разряд сотен) останется 3 доступные цифры.
- Для четвертой позиции (разряд десятков) останется 2 доступные цифры.
- Для пятой позиции (разряд единиц) останется последняя, 1 цифра.

Согласно комбинаторному правилу произведения, общее количество возможных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции:
Количество чисел = $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5!$

Вычислим значение факториала:
$5! = 120$

Таким образом, из цифр 1, 2, 3, 4, 5 можно составить 120 пятизначных чисел, в которых все цифры различны.

Ответ: 120.