Номер 16, страница 251 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

16. Чему равна сумма девяти первых членов арифметической про-грессии ($a_n$), если $a_1 + a_4 + a_{10} = 18$?

А) 48 В) 72

Б) 54 Г) найти невозможно

Для решения задачи воспользуемся формулами и свойствами арифметической прогрессии. Пусть $(a_n)$ — заданная арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

По условию задачи дано, что $a_1 + a_4 + a_{10} = 18$.

Выразим члены $a_4$ и $a_{10}$ через $a_1$ и $d$, используя формулу n-го члена:

$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$

$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$

Теперь подставим эти выражения в данное нам равенство:

$a_1 + (a_1 + 3d) + (a_1 + 9d) = 18$

Сгруппируем и упростим левую часть уравнения:

$3a_1 + 12d = 18$

Разделим обе части уравнения на 3:

$a_1 + 4d = 6$

Заметим, что левая часть этого равенства, $a_1 + 4d$, является формулой для пятого члена прогрессии $a_5$:

$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$

Таким образом, мы выяснили, что пятый член прогрессии равен 6, то есть $a_5 = 6$.

Далее нам нужно найти сумму девяти первых членов прогрессии, $S_9$. Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии имеет вид:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Применим эту формулу для $n=9$:

$S_9 = \frac{2a_1 + (9-1)d}{2} \cdot 9 = \frac{2a_1 + 8d}{2} \cdot 9$

В числителе дроби можно вынести общий множитель 2 за скобки:

$S_9 = \frac{2(a_1 + 4d)}{2} \cdot 9$

Сократив двойки, получим:

$S_9 = (a_1 + 4d) \cdot 9$

Поскольку мы ранее нашли, что $a_1 + 4d = 6$ (что равно $a_5$), мы можем подставить это значение в выражение для $S_9$:

$S_9 = 6 \cdot 9 = 54$

Таким образом, сумма девяти первых членов арифметической прогрессии равна 54. Этот результат соответствует варианту Б).

Ответ: 54.