Номер 11, страница 251 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

11. Сколько положительных членов содержит арифметическая прогрессия ($a_n$), если $a_1 = 41$ и $a_2 = 38$?

А) 13

Б) 14

В) 15

Г) 16

Чтобы найти количество положительных членов арифметической прогрессии $(a_n)$, необходимо сначала определить её основные параметры: первый член $a_1$ и разность $d$.

По условию задачи, первый член прогрессии $a_1 = 41$, а второй член $a_2 = 38$.

Разность арифметической прогрессии $d$ находится как разница между последующим и предыдущим членами: $d = a_2 - a_1 = 38 - 41 = -3$.

Теперь воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения $a_1 = 41$ и $d = -3$ в формулу: $a_n = 41 + (n-1)(-3) = 41 - 3n + 3 = 44 - 3n$.

Нам нужно найти количество положительных членов, то есть все члены $a_n$, которые больше нуля. Для этого решим неравенство $a_n > 0$: $44 - 3n > 0$.

Перенесем $3n$ в правую часть неравенства: $44 > 3n$.

Разделим обе части на 3: $n < \frac{44}{3}$.

Преобразуем дробь в смешанное число: $n < 14\frac{2}{3}$.

Поскольку номер члена прогрессии $n$ может быть только целым положительным числом, то максимальное целое значение $n$, удовлетворяющее этому неравенству, равно 14. Это означает, что члены прогрессии с 1-го по 14-й будут положительными.

Для проверки найдем 14-й и 15-й члены прогрессии: $a_{14} = 44 - 3 \cdot 14 = 44 - 42 = 2$. (2 > 0, положительный) $a_{15} = 44 - 3 \cdot 15 = 44 - 45 = -1$. (-1 < 0, отрицательный)

Таким образом, в данной арифметической прогрессии 14 положительных членов.

Ответ: 14