Номер 15, страница 251 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

15. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 9 и меньших 120.

А) $810$

Б) $702$

В) $819$

Г) $882$

Для решения этой задачи нам необходимо найти сумму членов арифметической прогрессии. Натуральные числа, кратные 9, образуют арифметическую прогрессию, где каждый следующий член на 9 больше предыдущего.

1. Определение параметров арифметической прогрессии
Первый член прогрессии ($a_1$) — это наименьшее натуральное число, кратное 9.
$a_1 = 9$.
Разность прогрессии ($d$) равна 9, так как мы рассматриваем числа, кратные 9.
$d = 9$.

2. Нахождение последнего члена прогрессии
Нам нужно найти наибольшее натуральное число, кратное 9, которое меньше 120. Для этого разделим 120 на 9.
$120 \div 9 = 13$ с остатком 3 ($120 = 9 \times 13 + 3$).
Следовательно, наибольшее число, кратное 9 и меньшее 120, это $9 \times 13$.
Последний член прогрессии ($a_n$) равен:
$a_n = 9 \times 13 = 117$.

3. Нахождение количества членов прогрессии
Количество членов ($n$) можно найти по формуле n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения:
$117 = 9 + (n-1) \times 9$
$117 - 9 = (n-1) \times 9$
$108 = (n-1) \times 9$
$n-1 = \frac{108}{9}$
$n-1 = 12$
$n = 13$.
Таким образом, в прогрессии 13 членов.

4. Расчет суммы прогрессии
Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии ($S_n$) вычисляется по формуле:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n$
Подставим наши значения $a_1=9$, $a_n=117$ и $n=13$:
$S_{13} = \frac{9 + 117}{2} \times 13$
$S_{13} = \frac{126}{2} \times 13$
$S_{13} = 63 \times 13$
$S_{13} = 819$.

Ответ: 819