Номер 2, страница 255 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

2. В школе 20 классов и 20 классных руководителей. Сколькими способами можно распределить классное руководство между учителями?

Эта задача решается с помощью методов комбинаторики, а именно — нахождения числа перестановок. Нам нужно распределить 20 уникальных учителей по 20 уникальным классам так, чтобы каждому классу соответствовал один учитель, и наоборот.

Рассмотрим процесс назначения классных руководителей по шагам:

1. Для первого класса можно выбрать любого из 20 учителей. Таким образом, есть 20 вариантов.

2. После того, как для первого класса назначен руководитель, остается 19 учителей. Значит, для второго класса существует 19 вариантов выбора.

3. Для третьего класса остается 18 учителей, что дает 18 вариантов.

4. Этот процесс продолжается до тех пор, пока мы не дойдем до последнего, 20-го класса. Для него останется только один учитель, то есть всего 1 вариант.

Согласно основному правилу комбинаторики (правилу произведения), общее количество способов распределения равно произведению числа вариантов на каждом шаге:

$N = 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1$

Такое произведение называется факториалом числа 20 и обозначается как $20!$.

В общем виде, количество способов упорядочить $n$ различных элементов (число перестановок) вычисляется по формуле:

$P_n = n!$

В нашем случае $n=20$, поэтому искомое число способов равно:

$P_{20} = 20! = 2 \, 432 \, 902 \, 008 \, 176 \, 640 \, 000$

Ответ: $20!$