Номер 18, страница 251 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

18. При каком положительном значении $x$ значения выражений $x + 1$, $3x - 1$ и $2x + 10$ являются последовательными членами геометрической прогрессии?

А) 1,5

Б) 4

В) 3

Г) такого значения не существует

Пусть данные выражения являются последовательными членами геометрической прогрессии $b_n$. Обозначим их:
$b_1 = x + 1$
$b_2 = 3x - 1$
$b_3 = 2x + 10$

Основное свойство геометрической прогрессии гласит, что квадрат любого члена прогрессии (кроме первого) равен произведению его соседних членов. Для наших трех членов это записывается как:
$b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим в это равенство данные выражения:
$(3x - 1)^2 = (x + 1)(2x + 10)$

Теперь решим полученное уравнение. Раскроем скобки в обеих частях. В левой части используем формулу квадрата разности, а в правой — правило умножения многочленов.
$9x^2 - 6x + 1 = 2x^2 + 10x + 2x + 10$

Соберем все слагаемые в левой части уравнения и приведем подобные:
$9x^2 - 2x^2 - 6x - 12x + 1 - 10 = 0$
$7x^2 - 18x - 9 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-18)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-9) = 324 + 252 = 576$
$\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$

Теперь найдем значения $x$:
$x_1 = \frac{-(-18) + 24}{2 \cdot 7} = \frac{18 + 24}{14} = \frac{42}{14} = 3$
$x_2 = \frac{-(-18) - 24}{2 \cdot 7} = \frac{18 - 24}{14} = \frac{-6}{14} = -\frac{3}{7}$

Согласно условию задачи, необходимо найти положительное значение $x$. Из двух полученных корней только $x = 3$ удовлетворяет этому условию.

Проверим, действительно ли при $x=3$ значения выражений образуют геометрическую прогрессию:
$b_1 = 3 + 1 = 4$
$b_2 = 3 \cdot 3 - 1 = 9 - 1 = 8$
$b_3 = 2 \cdot 3 + 10 = 6 + 10 = 16$
Получилась последовательность 4, 8, 16. Это геометрическая прогрессия, так как отношение последующего члена к предыдущему постоянно: $\frac{8}{4} = 2$ и $\frac{16}{8} = 2$.

Ответ: В) 3