Страница 251 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

10. Какой номер члена арифметической прогрессии ($a_n$), равного 6,2, если $a_1 = 0,2$, а разность $d = 0,4$?

А) 14

Б) 15

В) 16

Г) 17

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

В этой формуле:

• $a_n$ — это n-й член прогрессии, который мы ищем.
• $a_1$ — это первый член прогрессии.
• $d$ — это разность прогрессии.
• $n$ — это номер члена прогрессии.

По условию задачи нам даны следующие значения:

• $a_n = 6,2$
• $a_1 = 0,2$
• $d = 0,4$

Нам нужно найти номер члена прогрессии, то есть $n$. Подставим известные значения в формулу:

$6,2 = 0,2 + (n-1) \cdot 0,4$

Теперь решим это линейное уравнение относительно $n$. Сначала вычтем $0,2$ из обеих частей уравнения:

$6,2 - 0,2 = (n-1) \cdot 0,4$

$6 = (n-1) \cdot 0,4$

Теперь разделим обе части уравнения на $0,4$:

$n-1 = \frac{6}{0,4}$

Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, можно умножить и числитель, и знаменатель на 10:

$n-1 = \frac{6 \cdot 10}{0,4 \cdot 10} = \frac{60}{4}$

$n-1 = 15$

Наконец, прибавим 1 к обеим частям, чтобы найти $n$:

$n = 15 + 1$

$n = 16$

Таким образом, член арифметической прогрессии, равный 6,2, имеет номер 16. Среди предложенных вариантов ответа это соответствует варианту В).

Ответ: 16.

11. Сколько положительных членов содержит арифметическая прогрессия ($a_n$), если $a_1 = 41$ и $a_2 = 38$?

А) 13

Б) 14

В) 15

Г) 16

Чтобы найти количество положительных членов арифметической прогрессии $(a_n)$, необходимо сначала определить её основные параметры: первый член $a_1$ и разность $d$.

По условию задачи, первый член прогрессии $a_1 = 41$, а второй член $a_2 = 38$.

Разность арифметической прогрессии $d$ находится как разница между последующим и предыдущим членами: $d = a_2 - a_1 = 38 - 41 = -3$.

Теперь воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения $a_1 = 41$ и $d = -3$ в формулу: $a_n = 41 + (n-1)(-3) = 41 - 3n + 3 = 44 - 3n$.

Нам нужно найти количество положительных членов, то есть все члены $a_n$, которые больше нуля. Для этого решим неравенство $a_n > 0$: $44 - 3n > 0$.

Перенесем $3n$ в правую часть неравенства: $44 > 3n$.

Разделим обе части на 3: $n < \frac{44}{3}$.

Преобразуем дробь в смешанное число: $n < 14\frac{2}{3}$.

Поскольку номер члена прогрессии $n$ может быть только целым положительным числом, то максимальное целое значение $n$, удовлетворяющее этому неравенству, равно 14. Это означает, что члены прогрессии с 1-го по 14-й будут положительными.

Для проверки найдем 14-й и 15-й члены прогрессии: $a_{14} = 44 - 3 \cdot 14 = 44 - 42 = 2$. (2 > 0, положительный) $a_{15} = 44 - 3 \cdot 15 = 44 - 45 = -1$. (-1 < 0, отрицательный)

Таким образом, в данной арифметической прогрессии 14 положительных членов.

Ответ: 14

12. Найдите разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_1 + a_5 = 28$ и $a_2 + a_3 = 24$.

А) 4

Б) 3

В) 2,5

Г) 2

Пусть $d$ — искомая разность арифметической прогрессии $(a_n)$.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

Согласно условию задачи, мы имеем два равенства:

$a_1 + a_5 = 28$

$a_2 + a_3 = 24$

Выразим члены прогрессии $a_2$, $a_3$ и $a_5$ через $a_1$ и $d$:

$a_2 = a_1 + (2-1)d = a_1 + d$

$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$

$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$

Теперь подставим эти выражения в исходные равенства, чтобы получить систему уравнений с двумя неизвестными, $a_1$ и $d$.

Для первого уравнения $a_1 + a_5 = 28$ получаем:

$a_1 + (a_1 + 4d) = 28$

$2a_1 + 4d = 28$

Для второго уравнения $a_2 + a_3 = 24$ получаем:

$(a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 24$

$2a_1 + 3d = 24$

В результате мы получили систему двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 2a_1 + 4d = 28 \\ 2a_1 + 3d = 24 \end{cases}$

Для решения этой системы вычтем второе уравнение из первого. Это позволит нам сразу исключить переменную $a_1$.

$(2a_1 + 4d) - (2a_1 + 3d) = 28 - 24$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2a_1 + 4d - 2a_1 - 3d = 4$

$d = 4$

Таким образом, мы нашли разность арифметической прогрессии.

Ответ: 4

13. Чему равна сумма бесконечной геометрической прогрессии ($b_n$),
если $b_2 = 24$, $b_5 = -3$?

А) 24
Б) 48
В) -96
Г) -32

Для того чтобы найти сумму бесконечной геометрической прогрессии $S$, необходимо знать её первый член $b_1$ и знаменатель $q$. Сумма вычисляется по формуле: $S = \frac{b_1}{1 - q}$ Эта формула применима только в случае, если модуль знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

Для нахождения $b_1$ и $q$ воспользуемся данными задачи: $b_2 = 24$ и $b_5 = -3$, а также формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Составим систему уравнений:
$b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1q = 24$
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1q^4 = -3$

Разделим второе уравнение на первое, чтобы найти $q$:
$\frac{b_1q^4}{b_1q} = \frac{-3}{24}$
$q^3 = -\frac{1}{8}$
$q = \sqrt[3]{-\frac{1}{8}} = -\frac{1}{2}$

Проверим условие сходимости. Так как $|q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и её сумму можно вычислить.

Теперь найдем первый член $b_1$ из первого уравнения системы:
$b_1q = 24$
$b_1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 24$
$b_1 = 24 \cdot (-2) = -48$

Зная $b_1 = -48$ и $q = -\frac{1}{2}$, вычислим сумму прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{-48}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{-48}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-48}{\frac{3}{2}} = -48 \cdot \frac{2}{3} = -16 \cdot 2 = -32$

Ответ: -32

14. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь $0,(27)$.

А) $\frac{3}{11}$

Б) $\frac{9}{11}$

В) $\frac{27}{100}$

Г) $\frac{3}{111}$

Чтобы представить бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби, можно использовать следующий алгебраический метод.

1. Пусть искомая дробь равна $x$.

$x = 0,(27) = 0,272727...$

2. Так как в периоде дроби две цифры, умножим обе части этого равенства на $10^2 = 100$. Это позволит сместить запятую на две позиции вправо, сохранив при этом дробную часть.

$100x = 100 \cdot 0,272727... = 27,272727...$

3. Теперь составим систему из двух уравнений и вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от бесконечной периодической части:

$100x = 27,272727...$

$\ \ \ \ x = \ \ 0,272727...$

$100x - x = 27,272727... - 0,272727...$

$99x = 27$

4. Найдем $x$ из полученного уравнения:

$x = \frac{27}{99}$

5. Сократим полученную дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 9:

$x = \frac{27 \div 9}{99 \div 9} = \frac{3}{11}$

Следовательно, бесконечная десятичная дробь $0,(27)$ равна обыкновенной дроби $\frac{3}{11}$. Этот результат соответствует варианту А.

Ответ: $\frac{3}{11}$

15. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 9 и меньших 120.

А) $810$

Б) $702$

В) $819$

Г) $882$

Для решения этой задачи нам необходимо найти сумму членов арифметической прогрессии. Натуральные числа, кратные 9, образуют арифметическую прогрессию, где каждый следующий член на 9 больше предыдущего.

1. Определение параметров арифметической прогрессии
Первый член прогрессии ($a_1$) — это наименьшее натуральное число, кратное 9.
$a_1 = 9$.
Разность прогрессии ($d$) равна 9, так как мы рассматриваем числа, кратные 9.
$d = 9$.

2. Нахождение последнего члена прогрессии
Нам нужно найти наибольшее натуральное число, кратное 9, которое меньше 120. Для этого разделим 120 на 9.
$120 \div 9 = 13$ с остатком 3 ($120 = 9 \times 13 + 3$).
Следовательно, наибольшее число, кратное 9 и меньшее 120, это $9 \times 13$.
Последний член прогрессии ($a_n$) равен:
$a_n = 9 \times 13 = 117$.

3. Нахождение количества членов прогрессии
Количество членов ($n$) можно найти по формуле n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения:
$117 = 9 + (n-1) \times 9$
$117 - 9 = (n-1) \times 9$
$108 = (n-1) \times 9$
$n-1 = \frac{108}{9}$
$n-1 = 12$
$n = 13$.
Таким образом, в прогрессии 13 членов.

4. Расчет суммы прогрессии
Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии ($S_n$) вычисляется по формуле:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n$
Подставим наши значения $a_1=9$, $a_n=117$ и $n=13$:
$S_{13} = \frac{9 + 117}{2} \times 13$
$S_{13} = \frac{126}{2} \times 13$
$S_{13} = 63 \times 13$
$S_{13} = 819$.

Ответ: 819

16. Чему равна сумма девяти первых членов арифметической про-грессии ($a_n$), если $a_1 + a_4 + a_{10} = 18$?

А) 48 В) 72

Б) 54 Г) найти невозможно

Для решения задачи воспользуемся формулами и свойствами арифметической прогрессии. Пусть $(a_n)$ — заданная арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

По условию задачи дано, что $a_1 + a_4 + a_{10} = 18$.

Выразим члены $a_4$ и $a_{10}$ через $a_1$ и $d$, используя формулу n-го члена:

$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$

$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$

Теперь подставим эти выражения в данное нам равенство:

$a_1 + (a_1 + 3d) + (a_1 + 9d) = 18$

Сгруппируем и упростим левую часть уравнения:

$3a_1 + 12d = 18$

Разделим обе части уравнения на 3:

$a_1 + 4d = 6$

Заметим, что левая часть этого равенства, $a_1 + 4d$, является формулой для пятого члена прогрессии $a_5$:

$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$

Таким образом, мы выяснили, что пятый член прогрессии равен 6, то есть $a_5 = 6$.

Далее нам нужно найти сумму девяти первых членов прогрессии, $S_9$. Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии имеет вид:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Применим эту формулу для $n=9$:

$S_9 = \frac{2a_1 + (9-1)d}{2} \cdot 9 = \frac{2a_1 + 8d}{2} \cdot 9$

В числителе дроби можно вынести общий множитель 2 за скобки:

$S_9 = \frac{2(a_1 + 4d)}{2} \cdot 9$

Сократив двойки, получим:

$S_9 = (a_1 + 4d) \cdot 9$

Поскольку мы ранее нашли, что $a_1 + 4d = 6$ (что равно $a_5$), мы можем подставить это значение в выражение для $S_9$:

$S_9 = 6 \cdot 9 = 54$

Таким образом, сумма девяти первых членов арифметической прогрессии равна 54. Этот результат соответствует варианту Б).

Ответ: 54.

17. При каком значении $x$ значения выражений $7x - 8$, $2x + 1$ и $x + 6$ являются последовательными членами арифметической прогрессии?

А) 1

Б) 2

В) $-1$

Г) такого значения не существует

Для того чтобы три выражения $7x - 8$, $2x + 1$ и $x + 6$ были последовательными членами арифметической прогрессии, необходимо и достаточно, чтобы средний из них был равен среднему арифметическому двух крайних.

Пусть даны три последовательных члена арифметической прогрессии:
$a_1 = 7x - 8$
$a_2 = 2x + 1$
$a_3 = x + 6$

Характеристическое свойство арифметической прогрессии для трех последовательных членов записывается формулой: $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$, что эквивалентно $2a_2 = a_1 + a_3$.

Подставим наши выражения в это уравнение:
$2(2x + 1) = (7x - 8) + (x + 6)$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Сначала раскроем скобки:
$4x + 2 = 7x - 8 + x + 6$

Приведем подобные слагаемые в правой части уравнения:
$4x + 2 = (7x + x) + (-8 + 6)$
$4x + 2 = 8x - 2$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть, а числовые слагаемые — в левую, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов при $x$:
$2 + 2 = 8x - 4x$
$4 = 4x$

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы найти $x$:
$x = \frac{4}{4}$
$x = 1$

Проведем проверку. Подставим найденное значение $x = 1$ в исходные выражения:
Первый член: $7(1) - 8 = 7 - 8 = -1$
Второй член: $2(1) + 1 = 2 + 1 = 3$
Третий член: $1 + 6 = 7$

Мы получили последовательность чисел: $-1, 3, 7$. Найдем разность между соседними членами, чтобы убедиться, что это арифметическая прогрессия:
$d_1 = 3 - (-1) = 4$
$d_2 = 7 - 3 = 4$

Разности равны, значит, последовательность является арифметической с разностью $d=4$. Следовательно, значение $x=1$ найдено верно. Это значение соответствует варианту ответа А.

Ответ: 1

18. При каком положительном значении $x$ значения выражений $x + 1$, $3x - 1$ и $2x + 10$ являются последовательными членами геометрической прогрессии?

А) 1,5

Б) 4

В) 3

Г) такого значения не существует

Пусть данные выражения являются последовательными членами геометрической прогрессии $b_n$. Обозначим их:
$b_1 = x + 1$
$b_2 = 3x - 1$
$b_3 = 2x + 10$

Основное свойство геометрической прогрессии гласит, что квадрат любого члена прогрессии (кроме первого) равен произведению его соседних членов. Для наших трех членов это записывается как:
$b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим в это равенство данные выражения:
$(3x - 1)^2 = (x + 1)(2x + 10)$

Теперь решим полученное уравнение. Раскроем скобки в обеих частях. В левой части используем формулу квадрата разности, а в правой — правило умножения многочленов.
$9x^2 - 6x + 1 = 2x^2 + 10x + 2x + 10$

Соберем все слагаемые в левой части уравнения и приведем подобные:
$9x^2 - 2x^2 - 6x - 12x + 1 - 10 = 0$
$7x^2 - 18x - 9 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-18)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-9) = 324 + 252 = 576$
$\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$

Теперь найдем значения $x$:
$x_1 = \frac{-(-18) + 24}{2 \cdot 7} = \frac{18 + 24}{14} = \frac{42}{14} = 3$
$x_2 = \frac{-(-18) - 24}{2 \cdot 7} = \frac{18 - 24}{14} = \frac{-6}{14} = -\frac{3}{7}$

Согласно условию задачи, необходимо найти положительное значение $x$. Из двух полученных корней только $x = 3$ удовлетворяет этому условию.

Проверим, действительно ли при $x=3$ значения выражений образуют геометрическую прогрессию:
$b_1 = 3 + 1 = 4$
$b_2 = 3 \cdot 3 - 1 = 9 - 1 = 8$
$b_3 = 2 \cdot 3 + 10 = 6 + 10 = 16$
Получилась последовательность 4, 8, 16. Это геометрическая прогрессия, так как отношение последующего члена к предыдущему постоянно: $\frac{8}{4} = 2$ и $\frac{16}{8} = 2$.

Ответ: В) 3