Страница 249 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

922. Решите неравенство:

1) $5x^2 - 11x + 2 \le 0$;

2) $4x^2 + 3,6x > 0$;

3) $12 - 5x - 3x^2 \le 0$;

4) $0,04 - x^2 > 0$.

1) Решим квадратное неравенство $5x^2 - 11x + 2 \le 0$ .
Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2 - 11x + 2 = 0$ .
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81 = 9^2$ .
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 9}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = 0,2$ .
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 9}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$ .
Графиком функции $y = 5x^2 - 11x + 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент $a = 5 > 0$ .
Следовательно, неравенство $5x^2 - 11x + 2 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.
Ответ: $x \in [0,2; 2]$ .

2) Решим неравенство $4x^2 + 3,6x > 0$ .
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(4x + 3,6) > 0$ .
Найдем корни соответствующего уравнения $x(4x + 3,6) = 0$ :
$x_1 = 0$ или $4x + 3,6 = 0 \implies 4x = -3,6 \implies x_2 = -0,9$ .
Графиком функции $y = 4x^2 + 3,6x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как $a = 4 > 0$ .
Неравенство $> 0$ выполняется на промежутках вне корней.
Ответ: $x \in (-\infty; -0,9) \cup (0; +\infty)$ .

3) Решим неравенство $12 - 5x - 3x^2 \le 0$ .
Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$3x^2 + 5x - 12 \ge 0$ .
Найдем корни уравнения $3x^2 + 5x - 12 = 0$ .
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 25 + 144 = 169 = 13^2$ .
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-5 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$ .
$x_2 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ .
Графиком функции $y = 3x^2 + 5x - 12$ является парабола с ветвями вверх ( $a = 3 > 0$ ).
Следовательно, неравенство $3x^2 + 5x - 12 \ge 0$ выполняется на промежутках вне корней, включая сами корни.
Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [\frac{4}{3}; +\infty)$ .

4) Решим неравенство $0,04 - x^2 > 0$ .
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:
$(0,2 - x)(0,2 + x) > 0$ .
Найдем корни соответствующего уравнения $(0,2 - x)(0,2 + x) = 0$ :
$x_1 = 0,2$ , $x_2 = -0,2$ .
Графиком функции $y = 0,04 - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен -1).
Неравенство $> 0$ выполняется на промежутке между корнями.
Ответ: $x \in (-0,2; 0,2)$ .

923. Разложите на множители:

1) $6ab^2 - 12ab^3$;

2) $2a^3 - 8a$;

3) $3a^2c - 3c^3$;

4) $18mn^2 + 27m^2n$;

5) $100x^2 - 1$;

6) $2y^2 - 12y + 18$.

1) Для разложения на множители выражения $6ab^2 - 12ab^3$ необходимо найти и вынести за скобки общий множитель.
Коэффициенты 6 и 12 имеют наибольший общий делитель 6.
Переменные $a$ и $b$ входят в оба члена. Наименьшая степень для $a$ - это $a^1$, а для $b$ - это $b^2$.
Таким образом, общий множитель равен $6ab^2$.
Выносим его за скобки:
$6ab^2 - 12ab^3 = 6ab^2 \cdot 1 - 6ab^2 \cdot 2b = 6ab^2(1 - 2b)$.
Ответ: $6ab^2(1 - 2b)$

2) В выражении $2a^3 - 8a$ вынесем за скобки общий множитель $2a$.
$2a^3 - 8a = 2a(a^2 - 4)$.
Выражение в скобках $(a^2 - 4)$ представляет собой разность квадратов, так как $a^2 - 4 = a^2 - 2^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$2a(a^2 - 2^2) = 2a(a - 2)(a + 2)$.
Ответ: $2a(a - 2)(a + 2)$

3) В выражении $3a^2c - 3c^3$ вынесем за скобки общий множитель $3c$.
$3a^2c - 3c^3 = 3c(a^2 - c^2)$.
Выражение в скобках $(a^2 - c^2)$ является разностью квадратов. Используем формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$3c(a^2 - c^2) = 3c(a - c)(a + c)$.
Ответ: $3c(a - c)(a + c)$

4) В выражении $18mn^2 + 27m^2n$ найдем общий множитель.
Наибольший общий делитель для коэффициентов 18 и 27 равен 9.
Общие переменные - $m$ и $n$ в наименьших степенях, то есть $m^1$ и $n^1$.
Общий множитель равен $9mn$.
Выносим его за скобки:
$18mn^2 + 27m^2n = 9mn \cdot 2n + 9mn \cdot 3m = 9mn(2n + 3m)$.
Ответ: $9mn(2n + 3m)$

5) Выражение $100x^2 - 1$ является разностью квадратов, так как его можно представить в виде $(10x)^2 - 1^2$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 10x$ и $b = 1$.
$(10x)^2 - 1^2 = (10x - 1)(10x + 1)$.
Ответ: $(10x - 1)(10x + 1)$

6) В выражении $2y^2 - 12y + 18$ сначала вынесем за скобки общий числовой множитель 2.
$2y^2 - 12y + 18 = 2(y^2 - 6y + 9)$.
Выражение в скобках $y^2 - 6y + 9$ является полным квадратом разности. Его можно представить в виде $y^2 - 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2$.
Применим формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$, где $a = y$ и $b = 3$.
$2(y^2 - 6y + 9) = 2(y - 3)^2$.
Ответ: $2(y - 3)^2$

924. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{a}{2a - \sqrt{7b}}$;

2) $\frac{p - 3}{\sqrt{4 - p} - 1}$;

3) $\frac{m}{m + \sqrt{n}}$;

4) $\frac{1}{\sqrt{a - 3} + 2}$;

5) $\frac{7}{3 - \sqrt{b + 2}}$.

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{a}{2a - \sqrt{7b}}$, умножим ее числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $2a + \sqrt{7b}$. Для преобразования знаменателя используем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:
$\frac{a}{2a - \sqrt{7b}} = \frac{a \cdot (2a + \sqrt{7b})}{(2a - \sqrt{7b}) \cdot (2a + \sqrt{7b})} = \frac{2a^2 + a\sqrt{7b}}{(2a)^2 - (\sqrt{7b})^2} = \frac{2a^2 + a\sqrt{7b}}{4a^2 - 7b}$.
Ответ: $\frac{2a^2 + a\sqrt{7b}}{4a^2 - 7b}$.

2) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{p - 3}{\sqrt{4 - p} - 1}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{4 - p} + 1$:
$\frac{p - 3}{\sqrt{4 - p} - 1} = \frac{(p - 3)(\sqrt{4 - p} + 1)}{(\sqrt{4 - p} - 1)(\sqrt{4 - p} + 1)} = \frac{(p - 3)(\sqrt{4 - p} + 1)}{(\sqrt{4 - p})^2 - 1^2} = \frac{(p - 3)(\sqrt{4 - p} + 1)}{4 - p - 1} = \frac{(p - 3)(\sqrt{4 - p} + 1)}{3 - p}$.
Заметим, что $p - 3 = -(3 - p)$, поэтому дробь можно сократить:
$\frac{-(3 - p)(\sqrt{4 - p} + 1)}{3 - p} = -(\sqrt{4 - p} + 1) = -\sqrt{4 - p} - 1$.
Ответ: $-\sqrt{4 - p} - 1$.

3) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{m}{m + \sqrt{n}}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $m - \sqrt{n}$:
$\frac{m}{m + \sqrt{n}} = \frac{m \cdot (m - \sqrt{n})}{(m + \sqrt{n}) \cdot (m - \sqrt{n})} = \frac{m^2 - m\sqrt{n}}{m^2 - (\sqrt{n})^2} = \frac{m^2 - m\sqrt{n}}{m^2 - n}$.
Ответ: $\frac{m^2 - m\sqrt{n}}{m^2 - n}$.

4) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{1}{\sqrt{a - 3} + 2}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{a - 3} - 2$:
$\frac{1}{\sqrt{a - 3} + 2} = \frac{1 \cdot (\sqrt{a - 3} - 2)}{(\sqrt{a - 3} + 2)(\sqrt{a - 3} - 2)} = \frac{\sqrt{a - 3} - 2}{(\sqrt{a - 3})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{a - 3} - 2}{a - 3 - 4} = \frac{\sqrt{a - 3} - 2}{a - 7}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{a - 3} - 2}{a - 7}$.

5) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{7}{3 - \sqrt{b + 2}}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $3 + \sqrt{b + 2}$:
$\frac{7}{3 - \sqrt{b + 2}} = \frac{7 \cdot (3 + \sqrt{b + 2})}{(3 - \sqrt{b + 2}) \cdot (3 + \sqrt{b + 2})} = \frac{21 + 7\sqrt{b + 2}}{3^2 - (\sqrt{b + 2})^2} = \frac{21 + 7\sqrt{b + 2}}{9 - (b + 2)} = \frac{21 + 7\sqrt{b + 2}}{9 - b - 2} = \frac{21 + 7\sqrt{b + 2}}{7 - b}$.
Ответ: $\frac{21 + 7\sqrt{b + 2}}{7 - b}$.

925. При каком значении $b$ графики функций $y = 8x + b$ и $y = x^2$ пересекаются в точке, принадлежащей оси ординат?

Для того чтобы найти значение b, при котором графики функций $y = 8x + b$ и $y = x^2$ пересекаются в точке, принадлежащей оси ординат, необходимо выполнить следующие шаги.

1. Определить координаты точки пересечения. Условие гласит, что точка пересечения лежит на оси ординат (оси $Oy$). Любая точка, лежащая на оси ординат, имеет абсциссу (координату $x$), равную нулю. Таким образом, $x = 0$.

2. Найти ординату (координату $y$) точки пересечения. Поскольку точка пересечения принадлежит обоим графикам, ее координаты должны удовлетворять обоим уравнениям. Используем уравнение, которое не содержит неизвестный параметр $b$, то есть $y = x^2$. Подставим в него найденное значение $x = 0$:
$y = 0^2$
$y = 0$

Следовательно, точка пересечения графиков имеет координаты $(0; 0)$.

3. Найти значение параметра $b$. Теперь подставим координаты точки пересечения $(0; 0)$ во второе уравнение $y = 8x + b$, так как эта точка должна принадлежать и этому графику:
$0 = 8 \cdot 0 + b$
$0 = 0 + b$
$b = 0$

Таким образом, при $b = 0$ графики заданных функций пересекаются в точке $(0; 0)$, которая находится на оси ординат.

Ответ: $0$.

926. Глеб задумал пять цифр: $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$. Игорь отгадывает их. Ему разрешено задавать вопросы вида: «Чему равна сумма $a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + a_4x_4 + a_5x_5$?», где $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ — некоторые натуральные числа. За какое наименьшее количество вопросов Игорь может отгадать задуманные Глебом цифры?

Для того чтобы гарантированно отгадать задуманные Глебом пять цифр $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$, Игорю достаточно задать всего один вопрос.

Суть метода заключается в том, чтобы выбрать коэффициенты $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ таким образом, чтобы они позволяли «закодировать» пять отдельных цифр в одном числе. Это можно сделать, используя позиционную систему счисления. Поскольку задуманные числа $x_i$ являются цифрами (то есть целыми числами от 0 до 9), мы можем использовать основание системы счисления, большее 9, например, 10.

Игорь должен выбрать следующие натуральные числа в качестве коэффициентов:

• $a_1 = 10^0 = 1$
• $a_2 = 10^1 = 10$
• $a_3 = 10^2 = 100$
• $a_4 = 10^3 = 1000$
• $a_5 = 10^4 = 10000$

Затем он задает Глебу вопрос: «Чему равна сумма $S = 1 \cdot x_1 + 10 \cdot x_2 + 100 \cdot x_3 + 1000 \cdot x_4 + 10000 \cdot x_5$?»

Полученное число $S$ будет иметь уникальное представление в десятичной системе счисления. Поскольку каждая из цифр $x_i$ находится в диапазоне от 0 до 9, данная сумма является просто числом, составленным из этих цифр в определенном порядке. То есть, если представить число $S$ в виде $d_k d_{k-1} ... d_1 d_0$, то $x_1$ будет равно последней цифре $d_0$, $x_2$ — предпоследней $d_1$, и так далее.

Например, пусть Глеб задумал цифры $x_1=7, x_2=5, x_3=0, x_4=2, x_5=9$. Тогда Игорь, задав свой вопрос, получит в ответ число:

$S = 1 \cdot 7 + 10 \cdot 5 + 100 \cdot 0 + 1000 \cdot 2 + 10000 \cdot 9 = 7 + 50 + 0 + 2000 + 90000 = 92057$.

Из числа $S=92057$ Игорь однозначно восстанавливает все цифры:

• $x_1 = S \pmod{10} = 7$
• $x_2 = \lfloor S / 10 \rfloor \pmod{10} = 5$
• $x_3 = \lfloor S / 100 \rfloor \pmod{10} = 0$
• $x_4 = \lfloor S / 1000 \rfloor \pmod{10} = 2$
• $x_5 = \lfloor S / 10000 \rfloor \pmod{10} = 9$

Таким образом, один вопрос позволяет однозначно определить все пять цифр. Очевидно, что ноль вопросов недостаточно, так как у Игоря нет никакой информации. Следовательно, наименьшее количество вопросов, необходимое для решения задачи, равно единице.

Ответ: 1