Номер 922, страница 249 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

922. Решите неравенство:

1) $5x^2 - 11x + 2 \le 0$;

2) $4x^2 + 3,6x > 0$;

3) $12 - 5x - 3x^2 \le 0$;

4) $0,04 - x^2 > 0$.

1) Решим квадратное неравенство $5x^2 - 11x + 2 \le 0$ .
Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2 - 11x + 2 = 0$ .
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81 = 9^2$ .
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 9}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = 0,2$ .
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 9}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$ .
Графиком функции $y = 5x^2 - 11x + 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент $a = 5 > 0$ .
Следовательно, неравенство $5x^2 - 11x + 2 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.
Ответ: $x \in [0,2; 2]$ .

2) Решим неравенство $4x^2 + 3,6x > 0$ .
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(4x + 3,6) > 0$ .
Найдем корни соответствующего уравнения $x(4x + 3,6) = 0$ :
$x_1 = 0$ или $4x + 3,6 = 0 \implies 4x = -3,6 \implies x_2 = -0,9$ .
Графиком функции $y = 4x^2 + 3,6x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как $a = 4 > 0$ .
Неравенство $> 0$ выполняется на промежутках вне корней.
Ответ: $x \in (-\infty; -0,9) \cup (0; +\infty)$ .

3) Решим неравенство $12 - 5x - 3x^2 \le 0$ .
Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$3x^2 + 5x - 12 \ge 0$ .
Найдем корни уравнения $3x^2 + 5x - 12 = 0$ .
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 25 + 144 = 169 = 13^2$ .
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-5 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$ .
$x_2 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ .
Графиком функции $y = 3x^2 + 5x - 12$ является парабола с ветвями вверх ( $a = 3 > 0$ ).
Следовательно, неравенство $3x^2 + 5x - 12 \ge 0$ выполняется на промежутках вне корней, включая сами корни.
Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [\frac{4}{3}; +\infty)$ .

4) Решим неравенство $0,04 - x^2 > 0$ .
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:
$(0,2 - x)(0,2 + x) > 0$ .
Найдем корни соответствующего уравнения $(0,2 - x)(0,2 + x) = 0$ :
$x_1 = 0,2$ , $x_2 = -0,2$ .
Графиком функции $y = 0,04 - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен -1).
Неравенство $> 0$ выполняется на промежутке между корнями.
Ответ: $x \in (-0,2; 0,2)$ .