Номер 916, страница 248 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

916. Найдите знаменатель бесконечной геометрической прогрессии, сумма двух первых членов которой в 8 раз больше суммы остальных её членов.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Для того чтобы сумма бесконечной геометрической прогрессии была конечной (сходилась), необходимо, чтобы модуль её знаменателя был меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

Сумма двух первых членов прогрессии ($S_2$) равна:$S_2 = b_1 + b_2 = b_1 + b_1q = b_1(1+q)$

Остальные члены прогрессии, начиная с третьего ($b_3, b_4, b_5, \dots$), также образуют бесконечную геометрическую прогрессию. У этой новой прогрессии первый член равен $b_3 = b_1q^2$, а знаменатель остаётся тем же — $q$.Сумма этих остальных членов ($S_{ост}$) вычисляется по формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии:$S_{ост} = \frac{\text{первый член}}{1 - \text{знаменатель}} = \frac{b_3}{1-q} = \frac{b_1q^2}{1-q}$

По условию задачи, сумма двух первых членов в 8 раз больше суммы остальных её членов. Запишем это в виде уравнения:$S_2 = 8 \cdot S_{ост}$

Подставим выражения для $S_2$ и $S_{ост}$:$b_1(1+q) = 8 \cdot \frac{b_1q^2}{1-q}$

Так как прогрессия нетривиальна, её первый член $b_1 \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $b_1$:$1+q = \frac{8q^2}{1-q}$

Поскольку $|q| < 1$, то $1-q \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $(1-q)$, чтобы избавиться от знаменателя:$(1+q)(1-q) = 8q^2$

Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ к левой части уравнения:$1 - q^2 = 8q^2$

Решим полученное уравнение относительно $q$:$1 = 8q^2 + q^2$$1 = 9q^2$$q^2 = \frac{1}{9}$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для знаменателя $q$:$q_1 = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$$q_2 = -\sqrt{\frac{1}{9}} = -\frac{1}{3}$

Оба найденных значения удовлетворяют условию $|q| < 1$, так как $|\frac{1}{3}| < 1$ и $|-\frac{1}{3}| < 1$. Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: $-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}$.