Номер 919, страница 248 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

919. В квадрат со стороной $a$ вписана окружность, в окружность вписан квадрат, в этот квадрат вписана окружность, в которую снова вписан квадрат, и т. д. Найдите сумму:

1) периметров всех квадратов;

2) площадей квадратов;

3) длин окружностей;

4) площадей кругов, ограниченных данными окружностями.

Пусть $a_n$ — сторона n-го квадрата, а $r_n$ — радиус n-й окружности. По условию, сторона первого квадрата $a_1 = a$.

Окружность $C_n$ вписана в квадрат $Q_n$. Диаметр этой окружности равен стороне квадрата, поэтому её радиус $r_n = \frac{a_n}{2}$.

Квадрат $Q_{n+1}$ вписан в окружность $C_n$. Диагональ этого квадрата равна диаметру окружности: $a_{n+1}\sqrt{2} = 2r_n$. Отсюда сторона $(n+1)$-го квадрата $a_{n+1} = \frac{2r_n}{\sqrt{2}} = r_n\sqrt{2}$.

Теперь установим связь между сторонами и радиусами в последовательностях.

Для сторон квадратов: $a_{n+1} = r_n\sqrt{2} = \frac{a_n}{2}\sqrt{2} = \frac{a_n}{\sqrt{2}}$. Это показывает, что последовательность сторон квадратов $\{a_n\}$ является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с первым членом $a_1 = a$ и знаменателем $q = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Для радиусов окружностей: $r_{n+1} = \frac{a_{n+1}}{2} = \frac{r_n\sqrt{2}}{2} = \frac{r_n}{\sqrt{2}}$. Последовательность радиусов $\{r_n\}$ также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с первым членом $r_1 = \frac{a_1}{2} = \frac{a}{2}$ и знаменателем $q = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии находим по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель ($|q| < 1$).

1) периметров всех квадратов;

Периметр n-го квадрата равен $P_n = 4a_n$. Последовательность периметров $\{P_n\}$ — это геометрическая прогрессия с первым членом $P_1 = 4a_1 = 4a$ и знаменателем $q_P = \frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{4a_{n+1}}{4a_n} = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Сумма периметров всех квадратов: $S_P = \frac{P_1}{1-q_P} = \frac{4a}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{4a}{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}} = \frac{4a\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$.

Умножим числитель и знаменатель на $(\sqrt{2}+1)$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: $S_P = \frac{4a\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{4a(2+\sqrt{2})}{2-1} = 4a(2+\sqrt{2})$.

Ответ: $4a(2+\sqrt{2})$.

2) площадей квадратов;

Площадь n-го квадрата равна $S_{Q_n} = a_n^2$. Последовательность площадей $\{S_{Q_n}\}$ — это геометрическая прогрессия с первым членом $S_{Q_1} = a_1^2 = a^2$ и знаменателем $q_S = \frac{S_{Q_{n+1}}}{S_{Q_n}} = \frac{a_{n+1}^2}{a_n^2} = (\frac{a_{n+1}}{a_n})^2 = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2}$.

Сумма площадей всех квадратов: $S_{SQ} = \frac{S_{Q_1}}{1-q_S} = \frac{a^2}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{a^2}{\frac{1}{2}} = 2a^2$.

Ответ: $2a^2$.

3) длин окружностей;

Длина n-й окружности (её circumference) равна $L_n = 2\pi r_n$. Последовательность длин окружностей $\{L_n\}$ — это геометрическая прогрессия. Первый член $L_1 = 2\pi r_1 = 2\pi \frac{a}{2} = \pi a$. Знаменатель $q_L = \frac{L_{n+1}}{L_n} = \frac{2\pi r_{n+1}}{2\pi r_n} = \frac{r_{n+1}}{r_n} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Сумма длин всех окружностей: $S_L = \frac{L_1}{1-q_L} = \frac{\pi a}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\pi a}{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}} = \frac{\pi a\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$.

Избавляемся от иррациональности в знаменателе: $S_L = \frac{\pi a\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\pi a(2+\sqrt{2})}{2-1} = \pi a(2+\sqrt{2})$.

Ответ: $\pi a(2+\sqrt{2})$.

4) площадей кругов, ограниченных данными окружностями.

Площадь n-го круга равна $S_{C_n} = \pi r_n^2$. Последовательность площадей $\{S_{C_n}\}$ — это геометрическая прогрессия. Первый член $S_{C_1} = \pi r_1^2 = \pi (\frac{a}{2})^2 = \frac{\pi a^2}{4}$. Знаменатель $q_{SC} = \frac{S_{C_{n+1}}}{S_{C_n}} = \frac{\pi r_{n+1}^2}{\pi r_n^2} = (\frac{r_{n+1}}{r_n})^2 = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2}$.

Сумма площадей всех кругов: $S_{SC} = \frac{S_{C_1}}{1-q_{SC}} = \frac{\frac{\pi a^2}{4}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{\pi a^2}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{\pi a^2}{4} \cdot 2 = \frac{\pi a^2}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi a^2}{2}$.