Номер 912, страница 248 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

912. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии $(c_n)$, если $c_3 c_5 = 20$ и $c_2 + c_4 = 12\sqrt{5}$.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $c_n = c_1 q^{n-1}$, где $c_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (при $|q|<1$) находится по формуле $S = \frac{c_1}{1-q}$.

По условию задачи имеем систему из двух уравнений:

$ \begin{cases} c_3 c_5 = 20 \\ c_2 + c_4 = 12\sqrt{5} \end{cases} $

Выразим члены прогрессии через $c_1$ и $q$:

$c_2 = c_1 q$

$c_3 = c_1 q^2$

$c_4 = c_1 q^3$

$c_5 = c_1 q^4$

Подставим эти выражения в систему уравнений:

$ \begin{cases} (c_1 q^2)(c_1 q^4) = 20 \\ c_1 q + c_1 q^3 = 12\sqrt{5} \end{cases} $

Упростим систему:

$ \begin{cases} c_1^2 q^6 = 20 \\ c_1 q(1+q^2) = 12\sqrt{5} \end{cases} $

Рассмотрим первое уравнение. Используя свойство членов геометрической прогрессии $c_{n-k}c_{n+k} = c_n^2$, для $n=4$ и $k=1$ получаем $c_3 c_5 = c_4^2$. Также это можно увидеть из выражения $c_1^2 q^6 = (c_1 q^3)^2 = c_4^2$.

Следовательно, $c_4^2 = 20$, откуда $c_4 = \pm\sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5}$.

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $c_4 = 2\sqrt{5}$

Подставим это значение во второе исходное уравнение $c_2 + c_4 = 12\sqrt{5}$:

$c_2 + 2\sqrt{5} = 12\sqrt{5}$

$c_2 = 12\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = 10\sqrt{5}$

Теперь, зная $c_2$ и $c_4$, найдем знаменатель прогрессии $q$. Используем соотношение $c_4 = c_2 \cdot q^2$.

$2\sqrt{5} = 10\sqrt{5} \cdot q^2$

$q^2 = \frac{2\sqrt{5}}{10\sqrt{5}} = \frac{1}{5}$

Отсюда $q = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ или $q = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Оба значения $q$ удовлетворяют условию сходимости суммы $|q|<1$, так как $|\pm \frac{\sqrt{5}}{5}| < 1$. Поэтому существуют две возможные прогрессии.

Подслучай 1.1: $q = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Найдем первый член прогрессии $c_1$ из формулы $c_2 = c_1 q$:

$c_1 = \frac{c_2}{q} = \frac{10\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{5}}{5}} = 10\sqrt{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{5}} = 50$.

Найдем сумму прогрессии:

$S = \frac{c_1}{1-q} = \frac{50}{1 - \frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{50}{\frac{5-\sqrt{5}}{5}} = \frac{250}{5-\sqrt{5}} = \frac{250(5+\sqrt{5})}{(5-\sqrt{5})(5+\sqrt{5})} = \frac{250(5+\sqrt{5})}{25-5} = \frac{250(5+\sqrt{5})}{20} = \frac{25(5+\sqrt{5})}{2}$.

Подслучай 1.2: $q = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

Найдем первый член прогрессии $c_1$:

$c_1 = \frac{c_2}{q} = \frac{10\sqrt{5}}{-\frac{\sqrt{5}}{5}} = -50$.

Найдем сумму прогрессии:

$S = \frac{c_1}{1-q} = \frac{-50}{1 - (-\frac{\sqrt{5}}{5})} = \frac{-50}{1 + \frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{-50}{\frac{5+\sqrt{5}}{5}} = \frac{-250}{5+\sqrt{5}} = \frac{-250(5-\sqrt{5})}{(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})} = \frac{-250(5-\sqrt{5})}{25-5} = \frac{-250(5-\sqrt{5})}{20} = \frac{-25(5-\sqrt{5})}{2}$.

Случай 2: $c_4 = -2\sqrt{5}$

Подставим это значение во второе исходное уравнение $c_2 + c_4 = 12\sqrt{5}$:

$c_2 - 2\sqrt{5} = 12\sqrt{5}$

$c_2 = 14\sqrt{5}$

Найдем $q^2$ из соотношения $c_4 = c_2 \cdot q^2$:

$-2\sqrt{5} = 14\sqrt{5} \cdot q^2$

$q^2 = \frac{-2\sqrt{5}}{14\sqrt{5}} = -\frac{1}{7}$

Уравнение $q^2 = -\frac{1}{7}$ не имеет действительных решений, поэтому этот случай невозможен для прогрессии с действительными членами.

Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условиям задачи, и, соответственно, две возможные суммы.

Ответ: $\frac{25(5+\sqrt{5})}{2}$ или $\frac{-25(5-\sqrt{5})}{2}$.