Номер 907, страница 247 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

907. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии $(b_n)$, если:

1) $b_2 = 54, b_5 = 2;$

2) $b_2 - b_4 = 48, b_1 - b_3 = 240.$

Сумма бесконечной геометрической прогрессии $(b_n)$ вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Сумма существует только для сходящейся прогрессии, у которой знаменатель $|q| < 1$.

1) Дано: $b_2 = 54$, $b_5 = 2$.

Для нахождения суммы прогрессии необходимо найти её первый член $b_1$ и знаменатель $q$.

Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Выразим $b_5$ через $b_2$:

$b_5 = b_2 \cdot q^{5-2} = b_2 \cdot q^3$.

Подставим известные значения, чтобы найти знаменатель $q$:

$2 = 54 \cdot q^3$

$q^3 = \frac{2}{54} = \frac{1}{27}$

$q = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3}$.

Поскольку $|q| = |\frac{1}{3}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и её сумму можно найти.

Теперь найдем первый член $b_1$, используя известное значение $b_2$:

$b_2 = b_1 \cdot q$

$54 = b_1 \cdot \frac{1}{3}$

$b_1 = 54 \cdot 3 = 162$.

Наконец, вычислим сумму прогрессии по формуле:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{162}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{162}{\frac{2}{3}} = 162 \cdot \frac{3}{2} = 81 \cdot 3 = 243$.

Ответ: 243.

2) Дано: $b_2 - b_4 = 48$, $b_1 - b_3 = 240$.

Запишем данные условия через $b_1$ и $q$, используя формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Получим систему двух уравнений:

$\begin{cases} b_1q - b_1q^3 = 48 \\ b_1 - b_1q^2 = 240 \end{cases}$

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$\begin{cases} b_1q(1 - q^2) = 48 \\ b_1(1 - q^2) = 240 \end{cases}$

Разделим первое уравнение на второе. Так как $b_1(1-q^2) = 240 \neq 0$, такое деление возможно.

$\frac{b_1q(1 - q^2)}{b_1(1 - q^2)} = \frac{48}{240}$

После сокращения получаем:

$q = \frac{48}{240} = \frac{1}{5}$.

Поскольку $|q| = |\frac{1}{5}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и её сумму можно найти.

Подставим найденное значение $q$ во второе уравнение системы, чтобы найти $b_1$:

$b_1(1 - q^2) = 240$

$b_1(1 - (\frac{1}{5})^2) = 240$

$b_1(1 - \frac{1}{25}) = 240$

$b_1(\frac{24}{25}) = 240$

$b_1 = 240 \cdot \frac{25}{24} = 10 \cdot 25 = 250$.

Теперь вычислим сумму прогрессии:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{250}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{250}{\frac{4}{5}} = 250 \cdot \frac{5}{4} = \frac{1250}{4} = \frac{625}{2} = 312,5$.

Ответ: 312,5.