Номер 902, страница 247 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

902. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1) $\sqrt{2}, -1, \frac{1}{\sqrt{2}}, ...$

2) $3\sqrt{3}, 3, \sqrt{3}, ...$

3) $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}, 1, \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}, ...$

1) Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии. Эта формула верна при условии, что модуль знаменателя меньше единицы: $|q| < 1$.

Для прогрессии $\sqrt{2}, -1, \frac{1}{\sqrt{2}}, \dots$ имеем:
Первый член $b_1 = \sqrt{2}$.

Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1}{\sqrt{2}}$.

Проверим, выполняется ли условие сходимости: $|q| = |-\frac{1}{\sqrt{2}}| = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$, то $\frac{1}{\sqrt{2}} < 1$. Условие $|q| < 1$ выполнено, значит, сумму найти можно.

Вычисляем сумму прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{\sqrt{2}}{1 - (-\frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{\sqrt{2}}{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}}$.

Упростим полученное выражение:
$S = \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}+1} = \frac{2}{\sqrt{2}+1}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(\sqrt{2}-1)$:
$S = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{2-1} = 2\sqrt{2}-2$.

Ответ: $2\sqrt{2}-2$.

2) Для прогрессии $3\sqrt{3}, 3, \sqrt{3}, \dots$ определим первый член и знаменатель.

Первый член $b_1 = 3\sqrt{3}$.

Знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Проверим условие сходимости $|q| < 1$:
$|q| = |\frac{1}{\sqrt{3}}| = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732 > 1$, то $\frac{1}{\sqrt{3}} < 1$. Условие выполняется.

Найдем сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$:
$S = \frac{3\sqrt{3}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} = \frac{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} = \frac{9}{\sqrt{3}-1}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив на сопряженное выражение $(\sqrt{3}+1)$:
$S = \frac{9(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{9(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{9(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{9(\sqrt{3}+1)}{2}$.

Ответ: $\frac{9(\sqrt{3}+1)}{2}$.

3) Для прогрессии $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}, 1, \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}, \dots$ найдем первый член и знаменатель.

Первый член $b_1 = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$. Упростим его, избавившись от иррациональности в знаменателе:
$b_1 = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1} = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{2} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$.

Знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{2+\sqrt{3}}$.

Упростим выражение для $q$, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2-\sqrt{3})$:
$q = \frac{1 \cdot (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2-\sqrt{3}$.

Проверим условие сходимости $|q| < 1$:
$|q| = |2-\sqrt{3}|$. Так как $1 < \sqrt{3} < 2$ (поскольку $1^2=1, (\sqrt{3})^2=3, 2^2=4$), то $0 < 2-\sqrt{3} < 1$. Условие выполняется.

Вычисляем сумму прогрессии по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$:
$S = \frac{2+\sqrt{3}}{1 - (2-\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{1 - 2 + \sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$.

Вновь избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив на $(\sqrt{3}+1)$:
$S = \frac{(2+\sqrt{3})(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2\sqrt{3}+2\cdot1+(\sqrt{3})^2+\sqrt{3}\cdot1}{(\sqrt{3})^2-1^2} = \frac{2\sqrt{3}+2+3+\sqrt{3}}{3-1} = \frac{5+3\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{5+3\sqrt{3}}{2}$.