Номер 899, страница 246 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

899. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1) 64, 24, 9, ...;

2) -396, 330, -275, ... .

1) Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии $S$ используется формула $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Эта формула применима только в том случае, если модуль знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

В данной прогрессии 64, 24, 9, ... первый член $b_1 = 64$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{24}{64}$

Сократим дробь на 8:

$q = \frac{24 \div 8}{64 \div 8} = \frac{3}{8}$

Проверим, выполняется ли условие $|q| < 1$:

$|q| = |\frac{3}{8}| = \frac{3}{8}$. Так как $3 < 8$, то $\frac{3}{8} < 1$. Условие выполняется, следовательно, можно найти сумму прогрессии.

Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу суммы:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{64}{1 - \frac{3}{8}} = \frac{64}{\frac{8}{8} - \frac{3}{8}} = \frac{64}{\frac{5}{8}}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$S = 64 \cdot \frac{8}{5} = \frac{512}{5} = 102,4$

Ответ: $102,4$.

2) Рассмотрим вторую прогрессию: –396, 330, –275, ... .

Первый член этой прогрессии $b_1 = -396$.

Найдем её знаменатель $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{330}{-396} = -\frac{330}{396}$

Сократим дробь. Заметим, что оба числа делятся на 10 и 3, а значит и на 30. Проверим делимость на 66: $330 = 5 \cdot 66$ и $396 = 6 \cdot 66$.

$q = -\frac{5 \cdot 66}{6 \cdot 66} = -\frac{5}{6}$

Проверим условие $|q| < 1$:

$|q| = |-\frac{5}{6}| = \frac{5}{6}$. Так как $5 < 6$, то $\frac{5}{6} < 1$. Условие выполняется.

Теперь вычислим сумму прогрессии:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{-396}{1 - (-\frac{5}{6})} = \frac{-396}{1 + \frac{5}{6}} = \frac{-396}{\frac{6}{6} + \frac{5}{6}} = \frac{-396}{\frac{11}{6}}$

Выполним деление:

$S = -396 \cdot \frac{6}{11}$

Разделим 396 на 11: $396 \div 11 = 36$.

$S = -36 \cdot 6 = -216$

Ответ: $-216$.