Номер 901, страница 247 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

901. Представьте бесконечную десятичную периодическую дробь в виде обыкновенной дроби:

1) $0.(2)$;

2) $0.(6)$;

3) $0.(28)$;

4) $0.1(7)$;

5) $3.(45)$;

6) $1.4(12)$.

1) 0,222...
Представим данную бесконечную десятичную периодическую дробь в виде $0,(2)$.
Обозначим эту дробь через $x$:
$x = 0,222...$
Поскольку в периоде одна цифра, умножим обе части уравнения на 10, чтобы сдвинуть запятую на один знак вправо:
$10x = 2,222...$
Теперь вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от периодической части:
$10x - x = 2,222... - 0,222...$
$9x = 2$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{2}{9}$
Ответ: $\frac{2}{9}$

2) 0,666...
Представим данную дробь в виде $0,(6)$.
Обозначим эту дробь через $x$:
$x = 0,666...$
В периоде одна цифра, поэтому умножим обе части уравнения на 10:
$10x = 6,666...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = 6,666... - 0,666...$
$9x = 6$
$x = \frac{6}{9}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$x = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

3) 0,(28)
Данная дробь $0,(28)$ записывается как $0,282828...$.
Обозначим эту дробь через $x$:
$x = 0,282828...$
Поскольку в периоде две цифры, умножим обе части уравнения на $10^2 = 100$:
$100x = 28,282828...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - x = 28,282828... - 0,282828...$
$99x = 28$
$x = \frac{28}{99}$
Ответ: $\frac{28}{99}$

4) 0,1777...
Представим данную дробь в виде $0,1(7)$. Это смешанная периодическая дробь.
Обозначим эту дробь через $x$:
$x = 0,1777...$
Умножим обе части на 10, чтобы непериодическая часть (1) оказалась слева от запятой:
$10x = 1,777...$
Теперь умножим исходное уравнение на 100, чтобы сдвинуть запятую за первый период:
$100x = 17,777...$
Вычтем из второго полученного уравнения первое:
$100x - 10x = 17,777... - 1,777...$
$90x = 16$
$x = \frac{16}{90}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$x = \frac{8}{45}$
Ответ: $\frac{8}{45}$

5) 3,454545...
Представим данную дробь в виде $3,(45)$.
Обозначим эту дробь через $x$:
$x = 3,454545...$
Поскольку в периоде две цифры, умножим обе части уравнения на 100:
$100x = 345,454545...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - x = 345,454545... - 3,454545...$
$99x = 342$
$x = \frac{342}{99}$
Сократим дробь. Сумма цифр числителя $3+4+2=9$, и сумма цифр знаменателя $9+9=18$. Оба числа делятся на 9:
$x = \frac{342 \div 9}{99 \div 9} = \frac{38}{11}$
Эту неправильную дробь можно также представить в виде смешанного числа: $3\frac{5}{11}$.
Ответ: $\frac{38}{11}$

6) 1,4(12)
Данная дробь $1,4(12)$ записывается как $1,4121212...$. Это смешанная периодическая дробь.
Обозначим эту дробь через $x$:
$x = 1,4121212...$
Умножим обе части на 10, чтобы непериодическая часть (4) оказалась слева от запятой:
$10x = 14,121212...$
Теперь умножим исходное уравнение на 1000 (на 10 из-за непериодической части и еще на 100 из-за двух цифр в периоде), чтобы сдвинуть запятую за первый период:
$1000x = 1412,121212...$
Вычтем из второго полученного уравнения первое:
$1000x - 10x = 1412,121212... - 14,121212...$
$990x = 1398$
$x = \frac{1398}{990}$
Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 1398 и 990 равен 6.
$x = \frac{1398 \div 6}{990 \div 6} = \frac{233}{165}$
Ответ: $\frac{233}{165}$