Номер 910, страница 247 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

910. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 256, а сумма трёх её первых членов равна 252. Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$ (при условии $|q| < 1$). По условию задачи, $S = 256$. Получаем первое уравнение: $\frac{b_1}{1-q} = 256$.

Сумма трёх первых членов прогрессии $S_3$ равна $b_1 + b_1q + b_1q^2$. По условию, $S_3 = 252$. Вынесем $b_1$ за скобки и получим второе уравнение: $b_1(1+q+q^2) = 252$.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Из первого уравнения выразим $b_1 = 256(1-q)$ и подставим это выражение во второе уравнение: $256(1-q)(1+q+q^2) = 252$.

Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. В нашем случае выражение $(1-q)(1+q+q^2)$ равно $1-q^3$. Тогда уравнение примет вид: $256(1-q^3) = 252$.

Теперь решим это уравнение, чтобы найти знаменатель $q$. $1-q^3 = \frac{252}{256}$. Сократив дробь в правой части на 4, получаем: $1-q^3 = \frac{63}{64}$. Отсюда $q^3 = 1 - \frac{63}{64} = \frac{1}{64}$. Извлекая кубический корень из обеих частей уравнения, находим $q = \sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{4}$.

Значение $q = \frac{1}{4}$ удовлетворяет условию $|q|<1$, необходимому для существования суммы бесконечной прогрессии. Теперь найдем первый член $b_1$, используя выражение, полученное из первого уравнения: $b_1 = 256(1-q) = 256(1-\frac{1}{4}) = 256 \cdot \frac{3}{4} = 64 \cdot 3 = 192$.

Ответ: первый член прогрессии равен 192, а знаменатель равен $\frac{1}{4}$.