Номер 913, страница 248 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

913. Решите уравнение:

1) $1 + x + x^2 + \dots = 4$, если $|x| < 1$;

2) $1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} - \dots = 1.5$, если $|x| > 1$.

1) $1 + x + x^2 + ... = 4$, если $|x| < 1$

Левая часть уравнения представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = 1$. Знаменатель прогрессии $q = x$.

Условие $|x| < 1$ совпадает с условием сходимости ряда $|q| < 1$, поэтому мы можем использовать формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1 - q}$

Подставим наши значения в формулу: $4 = \frac{1}{1 - x}$

Теперь решим полученное уравнение: $4(1 - x) = 1$ $4 - 4x = 1$ $4x = 4 - 1$ $4x = 3$ $x = \frac{3}{4}$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию $|x| < 1$: $|\frac{3}{4}| = \frac{3}{4}$, и так как $\frac{3}{4} < 1$, условие выполняется.

Ответ: $x = \frac{3}{4}$

2) $1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} - ... = 1,5$, если $|x| > 1$

Левая часть уравнения также является суммой бесконечной геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = 1$. Знаменатель прогрессии $q = -\frac{1}{x}$.

Проверим условие сходимости ряда $|q| < 1$. В нашем случае это $|-\frac{1}{x}| < 1$, что эквивалентно $\frac{1}{|x|} < 1$. По условию задачи $|x| > 1$, следовательно, $\frac{1}{|x|} < 1$. Условие сходимости выполняется, и мы можем применить формулу суммы. $S = \frac{b_1}{1 - q}$

Подставим наши значения, учитывая что $1,5 = \frac{3}{2}$: $\frac{3}{2} = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{x})}$ $\frac{3}{2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}$ $\frac{3}{2} = \frac{1}{\frac{x+1}{x}}$ $\frac{3}{2} = \frac{x}{x+1}$

Решим полученное уравнение методом пропорции: $3(x+1) = 2x$ $3x + 3 = 2x$ $3x - 2x = -3$ $x = -3$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию $|x| > 1$: $|-3| = 3$, и так как $3 > 1$, условие выполняется.

Ответ: $x = -3$