Номер 917, страница 248 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Рис. 108

917. В квадрат со стороной $a$ вписан квадрат, вершинами которого являются середины сторон первого квадрата, во второй квадрат вписан третий, вершинами которого являются середины сторон второго, и т. д. (рис. 108). Найдите сумму площадей всех квадратов.

916.

Пусть дана бесконечная геометрическая прогрессия $(b_n)$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Условие сходимости суммы бесконечной геометрической прогрессии: $|q| < 1$.

Сумма двух первых членов прогрессии равна $S_2 = b_1 + b_2 = b_1 + b_1q = b_1(1+q)$.

Сумма остальных её членов (начиная с третьего) представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии, у которой первый член равен $b_3 = b_1q^2$, а знаменатель также равен $q$. Эта сумма равна $S_{ост} = \frac{b_3}{1-q} = \frac{b_1q^2}{1-q}$.

По условию задачи, сумма двух первых членов в 8 раз больше суммы остальных членов:

$S_2 = 8 \cdot S_{ост}$

$b_1(1+q) = 8 \cdot \frac{b_1q^2}{1-q}$

Предполагая, что $b_1 \neq 0$, разделим обе части уравнения на $b_1$:

$1+q = \frac{8q^2}{1-q}$

Так как $|q| < 1$, то $1-q \neq 0$. Умножим обе части на $(1-q)$:

$(1+q)(1-q) = 8q^2$

$1 - q^2 = 8q^2$

$1 = 9q^2$

$q^2 = \frac{1}{9}$

Отсюда получаем два возможных значения для знаменателя прогрессии:

$q_1 = \frac{1}{3}$ и $q_2 = -\frac{1}{3}$.

Оба значения удовлетворяют условию $|q| < 1$.

Ответ: $\frac{1}{3}$ или $-\frac{1}{3}$.

917.

Пусть сторона первого (самого большого) квадрата равна $a_1 = a$. Его площадь $A_1 = a_1^2 = a^2$.

Вершины второго квадрата являются серединами сторон первого. Сторона второго квадрата, $a_2$, является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны половине стороны первого квадрата, то есть $\frac{a_1}{2} = \frac{a}{2}$.

По теореме Пифагора:

$a_2^2 = (\frac{a_1}{2})^2 + (\frac{a_1}{2})^2 = \frac{a_1^2}{4} + \frac{a_1^2}{4} = \frac{a_1^2}{2} = \frac{a^2}{2}$.

Площадь второго квадрата равна $A_2 = a_2^2 = \frac{a^2}{2}$.

Аналогично, площадь третьего квадрата $A_3$ будет в два раза меньше площади второго квадрата $A_2$:

$A_3 = \frac{A_2}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{4}$.

Таким образом, площади квадратов образуют бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом $A_1 = a^2$ и знаменателем $q = \frac{A_2}{A_1} = \frac{a^2/2}{a^2} = \frac{1}{2}$.

Сумму всех площадей найдем по формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии $S = \frac{A_1}{1-q}$:

$S = \frac{a^2}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{a^2}{\frac{1}{2}} = 2a^2$.

Ответ: $2a^2$.

918.

Пусть $R_n$ — радиус $n$-й окружности, а $a_n$ — сторона $n$-го правильного треугольника. По условию, радиус первой окружности $R_1 = R$. В эту окружность вписан первый треугольник. Сторона правильного треугольника $a$, вписанного в окружность радиуса $R_{окр}$, связана с радиусом соотношением $a = R_{окр}\sqrt{3}$. Значит, сторона первого треугольника $a_1 = R_1\sqrt{3} = R\sqrt{3}$.

В этот треугольник вписана вторая окружность. Радиус окружности $R_{вп}$, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, равен $R_{вп} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. Значит, радиус второй окружности $R_2 = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{R\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{R}{2}$.

Мы видим, что радиус каждой следующей окружности в 2 раза меньше радиуса предыдущей: $R_{n+1} = \frac{R_n}{2}$. Следовательно, радиусы окружностей образуют бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом $R_1=R$ и знаменателем $q_R = \frac{1}{2}$.

Сторона каждого следующего треугольника также в 2 раза меньше стороны предыдущего: $a_{n+1} = R_{n+1}\sqrt{3} = \frac{R_n}{2}\sqrt{3} = \frac{a_n/\sqrt{3}}{2}\sqrt{3} = \frac{a_n}{2}$. Стороны треугольников образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем $q_a = \frac{1}{2}$.

а) сумма периметров всех треугольников

Периметр $n$-го треугольника $P_n = 3a_n$. Периметры образуют геометрическую прогрессию с первым членом $P_1 = 3a_1 = 3R\sqrt{3}$ и знаменателем $q_P = q_a = \frac{1}{2}$.

Сумма периметров: $S_P = \frac{P_1}{1-q_P} = \frac{3R\sqrt{3}}{1-\frac{1}{2}} = \frac{3R\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 6R\sqrt{3}$.

Ответ: $6R\sqrt{3}$.

б) сумма площадей всех треугольников

Площадь $n$-го треугольника $A_{Tn} = \frac{a_n^2\sqrt{3}}{4}$. Площади образуют геометрическую прогрессию с первым членом $A_{T1} = \frac{a_1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(R\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$ и знаменателем $q_{AT} = q_a^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Сумма площадей: $S_{AT} = \frac{A_{T1}}{1-q_{AT}} = \frac{\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}}{1-\frac{1}{4}} = \frac{\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}}{\frac{3}{4}} = R^2\sqrt{3}$.

Ответ: $R^2\sqrt{3}$.

в) сумма длин всех окружностей

Длина $n$-й окружности $L_n = 2\pi R_n$. Длины образуют геометрическую прогрессию с первым членом $L_1 = 2\pi R_1 = 2\pi R$ и знаменателем $q_L = q_R = \frac{1}{2}$.

Сумма длин: $S_L = \frac{L_1}{1-q_L} = \frac{2\pi R}{1-\frac{1}{2}} = \frac{2\pi R}{\frac{1}{2}} = 4\pi R$.

Ответ: $4\pi R$.

г) сумма площадей всех кругов

Площадь $n$-го круга $A_{Cn} = \pi R_n^2$. Площади кругов образуют геометрическую прогрессию с первым членом $A_{C1} = \pi R_1^2 = \pi R^2$ и знаменателем $q_{AC} = q_R^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Сумма площадей: $S_{AC} = \frac{A_{C1}}{1-q_{AC}} = \frac{\pi R^2}{1-\frac{1}{4}} = \frac{\pi R^2}{\frac{3}{4}} = \frac{4\pi R^2}{3}$.

Ответ: $\frac{4\pi R^2}{3}$.