Номер 921, страница 248 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

921. Постройте график функции $y = \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^2} + \ldots$, где $x > 0$.

Данная функция $y = \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^2} + ...$ определена при $x > 0$. Она состоит из слагаемого $\sqrt{x}$ и суммы бесконечного ряда. Рассмотрим этот ряд:

$S = \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^2} + \frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^3} + ...$

Этот ряд представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию. Найдем ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$.

Первый член прогрессии: $b_1 = \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}$.

Знаменатель прогрессии равен отношению второго члена к первому:

$q = \frac{\frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^2}}{\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}} = \frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^2} \cdot \frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{1}{1+\sqrt{x}}$.

Для того чтобы найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, необходимо убедиться, что она сходится. Условие сходимости: $|q| < 1$.

В нашем случае, по условию задачи $x > 0$, значит $\sqrt{x} > 0$. Следовательно, знаменатель $1 + \sqrt{x} > 1$.

Отсюда для $q$ получаем: $0 < q = \frac{1}{1+\sqrt{x}} < 1$.

Так как условие $|q| < 1$ выполняется для всех $x > 0$, мы можем найти сумму прогрессии по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Подставим значения $b_1$ и $q$:

$S = \frac{\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}{1 - \frac{1}{1+\sqrt{x}}} = \frac{\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}{\frac{(1+\sqrt{x}) - 1}{1+\sqrt{x}}} = \frac{\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}{\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}} = 1$.

Таким образом, бесконечная сумма равна 1. Теперь мы можем записать исходную функцию в упрощенном виде:

$y = \sqrt{x} + S = \sqrt{x} + 1$.

Теперь построим график функции $y = \sqrt{x} + 1$ с областью определения $x > 0$.

График функции $y = \sqrt{x} + 1$ является графиком функции $y = \sqrt{x}$, смещенным на 1 единицу вверх по оси ординат (Oy).

Базовый график $y = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы с вершиной в начале координат $(0, 0)$. Соответственно, график $y = \sqrt{x} + 1$ — это такая же ветвь параболы, но с вершиной в точке $(0, 1)$.

Важным моментом является условие $x > 0$. Это означает, что точка с абсциссой $x=0$ не принадлежит графику. Предельное значение функции при $x \to 0^+$ равно $y = \sqrt{0} + 1 = 1$. Следовательно, точка $(0, 1)$ является "выколотой" точкой на графике.

Для более точного построения найдем несколько контрольных точек, принадлежащих графику. Например: при $x=1$, $y = \sqrt{1} + 1 = 2$, получаем точку $(1, 2)$; при $x=4$, $y = \sqrt{4} + 1 = 3$, получаем точку $(4, 3)$; при $x=9$, $y = \sqrt{9} + 1 = 4$, получаем точку $(9, 4)$.

График функции начинается из выколотой точки $(0, 1)$ и плавно возрастает, проходя через точки $(1, 2)$, $(4, 3)$ и т.д., уходя в бесконечность вправо и вверх.

Ответ: Графиком функции $y = \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^2} + ...$ при $x > 0$ является график функции $y = \sqrt{x} + 1$. Это стандартная ветвь параболы $y = \sqrt{x}$, смещенная на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Точка $(0, 1)$ является выколотой.