Страница 250 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Среди данных последовательностей укажите арифметическую прогрессию.

А) 6, 9, 12, 13

Б) 2, 9, 16, 23

В) 2, 8, 14, 21

Г) 2, 9, 16, 21

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой разность между каждым последующим и предыдущим членами остается постоянной. Эта постоянная разность называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой $d$.

Чтобы определить, какая из предложенных последовательностей является арифметической прогрессией, необходимо для каждой из них найти разности между соседними членами и проверить, являются ли они постоянными.

А) 6, 9, 12, 13
Найдем разности между соседними членами:
$9 - 6 = 3$
$12 - 9 = 3$
$13 - 12 = 1$
Разности не являются постоянной величиной ($3 \neq 1$), следовательно, данная последовательность не является арифметической прогрессией.

Б) 2, 9, 16, 23
Найдем разности между соседними членами:
$9 - 2 = 7$
$16 - 9 = 7$
$23 - 16 = 7$
Разность постоянна и равна 7. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=7$.

В) 2, 8, 14, 21
Найдем разности между соседними членами:
$8 - 2 = 6$
$14 - 8 = 6$
$21 - 14 = 7$
Разности не являются постоянной величиной ($6 \neq 7$), следовательно, данная последовательность не является арифметической прогрессией.

Г) 2, 9, 16, 21
Найдем разности между соседними членами:
$9 - 2 = 7$
$16 - 9 = 7$
$21 - 16 = 5$
Разности не являются постоянной величиной ($7 \neq 5$), следовательно, данная последовательность не является арифметической прогрессией.

Таким образом, единственная последовательность, которая является арифметической прогрессией, — это последовательность под буквой Б.
Ответ: Б

2. Какая из данных последовательностей является геометрической прогрессией?

А) 3, 6, 9, 12

Б) 3, 5, 7, 14

В) 3, 6, 12, 24

Г) 5, 8, 12, 16

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же постоянное число, называемое знаменателем прогрессии ($q$). Чтобы проверить, является ли последовательность геометрической прогрессией, нужно вычислить отношение каждого члена к предыдущему. Если все отношения равны, то последовательность является геометрической прогрессией.

Проанализируем каждую из предложенных последовательностей.

А) 3, 6, 9, 12
Вычислим отношение второго члена к первому: $\frac{6}{3} = 2$.
Вычислим отношение третьего члена ко второму: $\frac{9}{6} = 1.5$.
Поскольку отношения не равны ($2 \neq 1.5$), эта последовательность не является геометрической прогрессией.

Б) 3, 5, 7, 14
Вычислим отношение второго члена к первому: $\frac{5}{3}$.
Вычислим отношение третьего члена ко второму: $\frac{7}{5} = 1.4$.
Поскольку отношения не равны ($\frac{5}{3} \neq 1.4$), эта последовательность не является геометрической прогрессией.

В) 3, 6, 12, 24
Вычислим отношение второго члена к первому: $\frac{6}{3} = 2$.
Вычислим отношение третьего члена ко второму: $\frac{12}{6} = 2$.
Вычислим отношение четвертого члена к третьему: $\frac{24}{12} = 2$.
Все отношения равны 2. Следовательно, эта последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 2$.

Г) 5, 8, 12, 16
Вычислим отношение второго члена к первому: $\frac{8}{5} = 1.6$.
Вычислим отношение третьего члена ко второму: $\frac{12}{8} = 1.5$.
Поскольку отношения не равны ($1.6 \neq 1.5$), эта последовательность не является геометрической прогрессией.

Таким образом, единственная последовательность, которая является геометрической прогрессией, — это последовательность В.

Ответ: В

3. Чему равен шестой член арифметической прогрессии, первый член которой равен 12, а разность равна 0,4?

А) 14.4

Б) 14

В) 13,6

Г) 13

3.

Чтобы найти n-й член арифметической прогрессии, используется формула $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — это первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер искомого члена.

В данной задаче нам известны следующие величины:
Первый член прогрессии $a_1 = 12$.
Разность прогрессии $d = 0,4$.
Нам нужно найти шестой член прогрессии, то есть $n = 6$.

Подставим эти значения в формулу:
$a_6 = 12 + (6-1) \times 0,4$

Выполним вычисления по порядку:
1. Вычисляем выражение в скобках: $6 - 1 = 5$.
2. Умножаем результат на разность: $5 \times 0,4 = 2$.
3. Прибавляем полученное значение к первому члену: $12 + 2 = 14$.

Таким образом, шестой член арифметической прогрессии равен 14.

$a_6 = 12 + 5 \times 0,4 = 12 + 2 = 14$

Ответ: 14

4. Найдите разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_1 = -7$, $a_2 = 5$.

А) $-2$

Б) $2$

В) $-12$

Г) $12$

Разность арифметической прогрессии (d) — это число, на которое каждый следующий член последовательности отличается от предыдущего. Чтобы найти разность, нужно из любого члена прогрессии, начиная со второго, вычесть предыдущий член.

Формула для нахождения разности арифметической прогрессии выглядит следующим образом:

$d = a_{n+1} - a_n$

В условии задачи даны первый и второй члены прогрессии: $a_1 = -7$ и $a_2 = 5$.

Подставим эти значения в формулу, взяв $n=1$:

$d = a_2 - a_1 = 5 - (-7)$

Выполним вычитание:

$d = 5 + 7 = 12$

Разность данной арифметической прогрессии равна 12, что соответствует варианту Г).

Ответ: 12

5. Вычислите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии, первый член которой $a_1 = -16$, а разность $d = 3$.

А) -10

Б) -15

В) -20

Г) -25

Для вычисления суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

где $S_n$ — сумма первых $n$ членов, $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — количество членов.

По условию задачи даны следующие значения:

Первый член $a_1 = -16$.
Разность $d = 3$.
Количество членов $n = 10$.

Подставим эти значения в формулу для нахождения суммы первых десяти членов ($S_{10}$):

$S_{10} = \frac{2 \cdot (-16) + 3 \cdot (10-1)}{2} \cdot 10$

Выполним вычисления по шагам:

1. Сначала вычислим выражение в числителе дроби:

$2 \cdot (-16) + 3 \cdot (10-1) = -32 + 3 \cdot 9 = -32 + 27 = -5$

2. Теперь формула принимает вид:

$S_{10} = \frac{-5}{2} \cdot 10$

3. Выполним умножение, сократив 10 и 2:

$S_{10} = -5 \cdot \frac{10}{2} = -5 \cdot 5 = -25$

Таким образом, сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна -25. Этот результат соответствует варианту Г).

Ответ: Г) -25

6. Найдите четвёртый член геометрической прогрессии, первый член которой $b_1 = -\frac{1}{8}$, а знаменатель $q = -2$.

А) -2

Б) -1

В) 1

Г) 2

Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии $(b_n)$ используется формула: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ где $b_1$ – первый член прогрессии, $q$ – её знаменатель, а $n$ – порядковый номер искомого члена.

Согласно условию задачи, нам даны:

• первый член $b_1 = -\frac{1}{8}$
• знаменатель $q = -2$

Необходимо найти четвёртый член прогрессии, то есть $n=4$.

Подставим известные значения в формулу: $b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Произведем вычисления: $b_4 = (-\frac{1}{8}) \cdot (-2)^3$

Сначала возведем знаменатель в куб: $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$

Теперь умножим результат на первый член: $b_4 = (-\frac{1}{8}) \cdot (-8) = \frac{8}{8} = 1$

Следовательно, четвёртый член данной геометрической прогрессии равен 1.

Ответ: 1

7. Чему равен знаменатель геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_1 = 36, b_2 = 9$?

А) $\frac{1}{4}$

Б) 4

В) 27

Г) -27

Знаменатель геометрической прогрессии $(q)$ — это число, на которое нужно умножить предыдущий член прогрессии, чтобы получить следующий. Для нахождения знаменателя используется формула: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$

В данной задаче известны первый и второй члены геометрической прогрессии: $b_1 = 36$ и $b_2 = 9$.

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти знаменатель $q$: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{9}{36}$

Сократим полученную дробь. Для этого разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 9: $q = \frac{9 \div 9}{36 \div 9} = \frac{1}{4}$

Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии равен $\frac{1}{4}$. Этот результат соответствует варианту ответа А.

Ответ: А) $\frac{1}{4}$

8. Вычислите сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии, первый член которой $b_1 = 2$, а знаменатель $q = 3$.

А) 56 Б) 80 В) 96 Г) 192

Чтобы вычислить сумму первых четырех членов геометрической прогрессии, можно использовать специальную формулу или найти каждый член и сложить их.

Решение с использованием формулы

Формула для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$) выглядит так:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

В нашей задаче даны следующие значения:

• Первый член прогрессии $b_1 = 2$
• Знаменатель прогрессии $q = 3$
• Количество членов для суммирования $n = 4$

Подставим эти значения в формулу:

$S_4 = \frac{2(3^4 - 1)}{3 - 1}$

Выполним вычисления по шагам:

1. Найдем значение $3^4$:

$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$

2. Подставим результат в основное уравнение:

$S_4 = \frac{2(81 - 1)}{3 - 1} = \frac{2 \times 80}{2}$

3. Сократим двойки в числителе и знаменателе:

$S_4 = 80$

Решение путем прямого суммирования

Найдем первые четыре члена прогрессии, зная, что каждый следующий член получается умножением предыдущего на знаменатель $q$.

• Первый член: $b_1 = 2$
• Второй член: $b_2 = b_1 \times q = 2 \times 3 = 6$
• Третий член: $b_3 = b_2 \times q = 6 \times 3 = 18$
• Четвертый член: $b_4 = b_3 \times q = 18 \times 3 = 54$

Теперь сложим полученные значения:

$S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 2 + 6 + 18 + 54 = 80$

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Сравнив его с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту Б.

Ответ: 80

9. Найдите сумму пятнадцати первых членов арифметической прогрессии ($a_n$), заданной формулой $n$-го члена $a_n = -4n + 13$.

А) -300

Б) -285

В) -275

Г) -250

Для того чтобы найти сумму пятнадцати первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

В нашем случае $n = 15$, поэтому формула будет выглядеть так: $S_{15} = \frac{a_1 + a_{15}}{2} \cdot 15$.

Арифметическая прогрессия задана формулой n-го члена $a_n = -4n + 13$.

Сначала найдем первый член прогрессии $a_1$, подставив $n = 1$ в формулу:
$a_1 = -4 \cdot 1 + 13 = -4 + 13 = 9$.

Теперь найдем пятнадцатый член прогрессии $a_{15}$, подставив $n = 15$ в формулу:
$a_{15} = -4 \cdot 15 + 13 = -60 + 13 = -47$.

Подставим найденные значения $a_1 = 9$ и $a_{15} = -47$ в формулу суммы:
$S_{15} = \frac{9 + (-47)}{2} \cdot 15 = \frac{9 - 47}{2} \cdot 15 = \frac{-38}{2} \cdot 15$.

Выполним вычисления:
$S_{15} = -19 \cdot 15 = -285$.

Таким образом, сумма пятнадцати первых членов данной арифметической прогрессии равна -285. Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это соответствует варианту Б.

Ответ: Б) -285.