Номер 8, страница 250 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

8. Вычислите сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии, первый член которой $b_1 = 2$, а знаменатель $q = 3$.

А) 56 Б) 80 В) 96 Г) 192

Чтобы вычислить сумму первых четырех членов геометрической прогрессии, можно использовать специальную формулу или найти каждый член и сложить их.

Решение с использованием формулы

Формула для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$) выглядит так:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

В нашей задаче даны следующие значения:

• Первый член прогрессии $b_1 = 2$
• Знаменатель прогрессии $q = 3$
• Количество членов для суммирования $n = 4$

Подставим эти значения в формулу:

$S_4 = \frac{2(3^4 - 1)}{3 - 1}$

Выполним вычисления по шагам:

1. Найдем значение $3^4$:

$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$

2. Подставим результат в основное уравнение:

$S_4 = \frac{2(81 - 1)}{3 - 1} = \frac{2 \times 80}{2}$

3. Сократим двойки в числителе и знаменателе:

$S_4 = 80$

Решение путем прямого суммирования

Найдем первые четыре члена прогрессии, зная, что каждый следующий член получается умножением предыдущего на знаменатель $q$.

• Первый член: $b_1 = 2$
• Второй член: $b_2 = b_1 \times q = 2 \times 3 = 6$
• Третий член: $b_3 = b_2 \times q = 6 \times 3 = 18$
• Четвертый член: $b_4 = b_3 \times q = 18 \times 3 = 54$

Теперь сложим полученные значения:

$S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 2 + 6 + 18 + 54 = 80$

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Сравнив его с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту Б.

Ответ: 80