Номер 17, страница 251 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

17. При каком значении $x$ значения выражений $7x - 8$, $2x + 1$ и $x + 6$ являются последовательными членами арифметической прогрессии?

А) 1

Б) 2

В) $-1$

Г) такого значения не существует

Для того чтобы три выражения $7x - 8$, $2x + 1$ и $x + 6$ были последовательными членами арифметической прогрессии, необходимо и достаточно, чтобы средний из них был равен среднему арифметическому двух крайних.

Пусть даны три последовательных члена арифметической прогрессии:
$a_1 = 7x - 8$
$a_2 = 2x + 1$
$a_3 = x + 6$

Характеристическое свойство арифметической прогрессии для трех последовательных членов записывается формулой: $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$, что эквивалентно $2a_2 = a_1 + a_3$.

Подставим наши выражения в это уравнение:
$2(2x + 1) = (7x - 8) + (x + 6)$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Сначала раскроем скобки:
$4x + 2 = 7x - 8 + x + 6$

Приведем подобные слагаемые в правой части уравнения:
$4x + 2 = (7x + x) + (-8 + 6)$
$4x + 2 = 8x - 2$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть, а числовые слагаемые — в левую, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов при $x$:
$2 + 2 = 8x - 4x$
$4 = 4x$

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы найти $x$:
$x = \frac{4}{4}$
$x = 1$

Проведем проверку. Подставим найденное значение $x = 1$ в исходные выражения:
Первый член: $7(1) - 8 = 7 - 8 = -1$
Второй член: $2(1) + 1 = 2 + 1 = 3$
Третий член: $1 + 6 = 7$

Мы получили последовательность чисел: $-1, 3, 7$. Найдем разность между соседними членами, чтобы убедиться, что это арифметическая прогрессия:
$d_1 = 3 - (-1) = 4$
$d_2 = 7 - 3 = 4$

Разности равны, значит, последовательность является арифметической с разностью $d=4$. Следовательно, значение $x=1$ найдено верно. Это значение соответствует варианту ответа А.

Ответ: 1