Номер 4, страница 255 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. Сколько пятизначных чисел, все цифры которых должны быть различными, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4?

Для решения этой задачи нужно найти количество пятизначных чисел, которые можно составить из набора цифр {0, 1, 2, 3, 4} при условии, что все цифры в числе должны быть различными.

Ключевым моментом является то, что пятизначное число не может начинаться с цифры 0.

Рассмотрим задачу двумя способами.

Способ 1: Метод перемножения вариантов

Представим пятизначное число как пять позиций, которые нужно заполнить: _ _ _ _ _

• Первая цифра (разряд десятков тысяч): На эту позицию нельзя ставить 0. Следовательно, мы можем выбрать любую из 4-х цифр: {1, 2, 3, 4}. Количество вариантов: 4.
• Вторая цифра (разряд тысяч): Мы уже использовали одну цифру. Из исходных пяти цифр осталось четыре. Теперь мы можем использовать 0. Количество вариантов: 4.
• Третья цифра (разряд сотен): Две цифры уже использованы. Осталось три неиспользованные цифры. Количество вариантов: 3.
• Четвертая цифра (разряд десятков): Три цифры использованы. Осталось две. Количество вариантов: 2.
• Пятая цифра (разряд единиц): Четыре цифры использованы. Осталась последняя. Количество вариантов: 1.

Чтобы найти общее количество возможных чисел, перемножим количество вариантов для каждой позиции: $N = 4 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 96$

Способ 2: Метод исключения

Этот метод основан на расчете всех возможных перестановок из данных цифр и последующем исключении тех, которые не удовлетворяют условию задачи.

1. Сначала найдем общее количество перестановок из 5 цифр {0, 1, 2, 3, 4}. Это число размещений из 5 по 5, или факториал 5: $P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

2. Теперь найдем количество "неправильных" комбинаций, то есть тех, которые начинаются с 0. Если первая цифра зафиксирована как 0, то нам нужно найти количество перестановок для оставшихся 4-х цифр {1, 2, 3, 4} на 4-х позициях. $P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

3. Вычтем из общего числа перестановок количество тех, что начинаются с нуля, чтобы получить количество действительных пятизначных чисел: $N = P_5 - P_4 = 120 - 24 = 96$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 96