Номер 4, страница 257 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. В классе 25 учащихся. Для изучения иностранного языка их надо разбить на две группы: 13 и 12 человек. Сколькими способами это можно сделать?

Данная задача сводится к нахождению числа способов выбрать 13 учащихся для одной группы из 25. Как только первая группа будет сформирована, вторая группа из оставшихся 12 человек определится автоматически. Поскольку порядок выбора учащихся в группу не важен, мы используем формулу для числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ (в данном случае, выбор $k$ учеников из $n$) определяется формулой:

$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее число учащихся $n=25$, а количество учащихся в первой группе $k=13$. Подставляем эти значения в формулу:

$C_{25}^{13} = \frac{25!}{13!(25-13)!} = \frac{25!}{13!12!}$

Для вычисления этого значения необходимо раскрыть факториалы и сократить дробь:

$C_{25}^{13} = \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14}{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

После выполнения всех сокращений и умножений, мы получаем итоговое число способов.

$C_{25}^{13} = 5\,200\,300$

Стоит отметить, что результат был бы таким же, если бы мы изначально выбирали группу из 12 человек, так как число способов выбрать 12 человек из 25 равно числу способов выбрать 13 человек из 25 ($C_{25}^{12} = C_{25}^{13}$).

Ответ: 5 200 300.