Номер 1, страница 257 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. В 9 классе изучают 15 предметов. Дневное расписание содержит 6 уроков. Сколькими способами можно составить дневное расписание так, чтобы все 6 уроков были разными?

1. Эта задача относится к разделу комбинаторики, а именно к размещениям, поскольку порядок уроков в расписании важен. Нам нужно выбрать 6 разных предметов из 15 и расставить их в определенном порядке.

Для решения можно использовать правило произведения. Рассуждаем последовательно:

- Для первого урока в расписании можно выбрать любой из 15 предметов (15 вариантов).
- Поскольку все уроки должны быть разными, для второго урока остается на выбор 14 предметов (14 вариантов).
- Для третьего урока — 13 вариантов.
- Для четвертого урока — 12 вариантов.
- Для пятого урока — 11 вариантов.
- Для шестого урока — 10 вариантов.

Чтобы найти общее количество способов составить расписание, нужно перемножить количество вариантов для каждого урока:

Количество способов = $15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10$

Этот же результат можно получить, используя формулу для числа размещений из $n$ элементов по $k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Где $n=15$ (общее число предметов) и $k=6$ (количество уроков в день).

$A_{15}^6 = \frac{15!}{(15-6)!} = \frac{15!}{9!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{9!} = 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10$

Теперь вычислим произведение:

$15 \cdot 14 = 210$

$210 \cdot 13 = 2730$

$2730 \cdot 12 = 32760$

$32760 \cdot 11 = 360360$

$360360 \cdot 10 = 3 \ 603 \ 600$

Таким образом, существует 3 603 600 способов составить дневное расписание.

Ответ: 3 603 600.