Номер 890, страница 241 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

890. Решите систему неравенств:

1) $ \begin{cases} (x + 2)(x - 6) \le (x + 2)(x + 1) + 4, \\ 2(6x - 1) \ge 7(2x - 4); \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \frac{x - 1}{2} - \frac{x - 2}{3} \ge \frac{x - 3}{4} - x, \\ 1 - x > 0,5x - 5. \end{cases} $

1)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:

$(x+2)(x-6) \le (x+2)(x+1) + 4$

Раскроем скобки в обеих частях:

$x^2 - 6x + 2x - 12 \le x^2 + x + 2x + 2 + 4$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 4x - 12 \le x^2 + 3x + 6$

Перенесем все члены с $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$x^2 - 4x - x^2 - 3x \le 6 + 12$

$-7x \le 18$

Разделим обе части неравенства на -7. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \ge -\frac{18}{7}$

$x \ge -2\frac{4}{7}$

Второе неравенство:

$2(6x-1) \ge 7(2x-4)$

Раскроем скобки:

$12x - 2 \ge 14x - 28$

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$28 - 2 \ge 14x - 12x$

$26 \ge 2x$

Разделим обе части на 2:

$13 \ge x$, или $x \le 13$

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \ge -2\frac{4}{7}$ и $x \le 13$. Это означает, что $x$ должен быть в промежутке от $-2\frac{4}{7}$ до $13$ включительно.

Ответ: $[-2\frac{4}{7}; 13]$.

2)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:

$\frac{x-1}{2} - \frac{x-2}{3} \ge \frac{x-3}{4} - x$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное чисел 2, 3 и 4, то есть на 12:

$12 \cdot \frac{x-1}{2} - 12 \cdot \frac{x-2}{3} \ge 12 \cdot \frac{x-3}{4} - 12 \cdot x$

$6(x-1) - 4(x-2) \ge 3(x-3) - 12x$

Раскроем скобки:

$6x - 6 - 4x + 8 \ge 3x - 9 - 12x$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$2x + 2 \ge -9x - 9$

Перенесем члены с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$2x + 9x \ge -9 - 2$

$11x \ge -11$

Разделим обе части на 11:

$x \ge -1$

Второе неравенство:

$1 - x > 0,5x - 5$

Перенесем члены с $x$ в правую часть, а числа — в левую:

$1 + 5 > 0,5x + x$

$6 > 1,5x$

Разделим обе части на 1,5:

$\frac{6}{1,5} > x$

$4 > x$, или $x < 4$

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \ge -1$ и $x < 4$. Это означает, что $x$ должен быть в промежутке от -1 включительно до 4 не включительно.

Ответ: $[-1; 4)$.