Номер 885, страница 241 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

885. Найдите сумму квадратов шести первых членов геометрической прогрессии, первый член которой равен $2\sqrt{3}$, а знаменатель равен $\sqrt{3}$.

Пусть дана геометрическая прогрессия $b_n$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. По условию задачи, нам даны:

Первый член прогрессии: $b_1 = 2\sqrt{3}$

Знаменатель прогрессии: $q = \sqrt{3}$

Требуется найти сумму квадратов первых шести членов этой прогрессии:

$S = b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + b_4^2 + b_5^2 + b_6^2$

Рассмотрим последовательность, составленную из квадратов членов исходной прогрессии: $c_n = b_n^2$. Члены этой последовательности $c_1, c_2, c_3, ...$ также образуют геометрическую прогрессию.

Найдем параметры этой новой геометрической прогрессии:

Первый член новой прогрессии $c_1$ равен квадрату первого члена исходной прогрессии:

$c_1 = b_1^2 = (2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$

Знаменатель новой прогрессии $q'$ равен квадрату знаменателя исходной прогрессии:

$q' = q^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$

Теперь задача сводится к нахождению суммы первых шести членов новой геометрической прогрессии с первым членом $c_1 = 12$ и знаменателем $q' = 3$.

Используем формулу суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{c_1((q')^n - 1)}{q' - 1}$

Подставляем наши значения: $n=6$, $c_1=12$ и $q'=3$:

$S_6 = \frac{12(3^6 - 1)}{3 - 1}$

Вычислим $3^6$:

$3^6 = (3^3)^2 = 27^2 = 729$

Теперь подставим это значение в формулу суммы:

$S_6 = \frac{12(729 - 1)}{2} = \frac{12 \cdot 728}{2}$

Сократим дробь на 2:

$S_6 = 6 \cdot 728$

Выполним умножение:

$6 \cdot 728 = 4368$

Таким образом, сумма квадратов шести первых членов исходной геометрической прогрессии равна 4368.

Ответ: 4368