Номер 879, страница 240 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

879. Сумма трёх первых членов геометрической прогрессии равна 516, а первый член равен 12. Найдите знаменатель прогрессии.

Пусть $b_1, b_2, b_3, \dots$ - члены геометрической прогрессии, а $q$ - её знаменатель.

Согласно условию задачи, сумма первых трёх членов прогрессии $S_3$ равна 516, а первый член $b_1$ равен 12.
$S_3 = 516$
$b_1 = 12$

Требуется найти знаменатель прогрессии $q$.

Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии выражается как $S_3 = b_1 + b_2 + b_3$.
Используя формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, можем записать:
$b_2 = b_1 \cdot q$
$b_3 = b_1 \cdot q^2$

Подставим эти выражения в формулу суммы:
$S_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2 = 516$

Вынесем $b_1$ за скобки:
$b_1(1 + q + q^2) = 516$

Теперь подставим известное значение $b_1 = 12$:
$12(1 + q + q^2) = 516$

Для того чтобы найти $q$, решим это уравнение. Сначала разделим обе части на 12:
$1 + q + q^2 = \frac{516}{12}$
$1 + q + q^2 = 43$

Перенесем 43 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$q^2 + q + 1 - 43 = 0$
$q^2 + q - 42 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
Для нашего уравнения $a=1, b=1, c=-42$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169 = 13^2$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $q = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$q_1 = \frac{-1 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$q_2 = \frac{-1 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Таким образом, существуют два возможных значения для знаменателя прогрессии, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: 6 или -7.