Номер 874, страница 240 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

874. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии ($c_n$), если:

1) $c_4 = 216$, а знаменатель прогрессии $q = -3$;

2) $c_1 = 5\sqrt{5}$, $c_5 = 125\sqrt{5}$, а знаменатель прогрессии $q > 0$.

1) $c_4=216$, а знаменатель прогрессии $q = -3$

Для нахождения суммы шести первых членов геометрической прогрессии $S_6$ воспользуемся формулой $S_n = \frac{c_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Для этого сначала необходимо найти первый член прогрессии $c_1$.
Формула n-го члена геометрической прогрессии: $c_n = c_1 \cdot q^{n-1}$. Используя данные для четвертого члена прогрессии ($c_4 = 216$) и знаменателя ($q = -3$), найдем $c_1$:
$c_4 = c_1 \cdot q^{4-1} = c_1 \cdot q^3$
$216 = c_1 \cdot (-3)^3$
$216 = c_1 \cdot (-27)$
$c_1 = \frac{216}{-27} = -8$
Теперь, зная $c_1 = -8$ и $q = -3$, мы можем рассчитать сумму первых шести членов $S_6$:
$S_6 = \frac{c_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{-8 \cdot ((-3)^6 - 1)}{-3 - 1}$
Вычислим $(-3)^6 = 729$.
$S_6 = \frac{-8 \cdot (729 - 1)}{-4} = \frac{-8 \cdot 728}{-4}$
$S_6 = 2 \cdot 728 = 1456$

Ответ: 1456

2) $c_1 = 5\sqrt{5}$, $c_5 = 125\sqrt{5}$, а знаменатель прогрессии $q > 0$

Для расчета суммы $S_6$ нам необходимо сначала найти знаменатель прогрессии $q$. Используем формулу n-го члена прогрессии $c_n = c_1 \cdot q^{n-1}$ и известные значения $c_1$ и $c_5$.
$c_5 = c_1 \cdot q^{5-1} = c_1 \cdot q^4$
$125\sqrt{5} = 5\sqrt{5} \cdot q^4$
Разделим обе части уравнения на $5\sqrt{5}$:
$q^4 = \frac{125\sqrt{5}}{5\sqrt{5}} = 25$
Поскольку по условию $q > 0$, находим положительный корень:
$q = \sqrt[4]{25} = \sqrt[4]{5^2} = \sqrt{5}$
Теперь, имея $c_1 = 5\sqrt{5}$ и $q = \sqrt{5}$, вычислим сумму $S_6$ по формуле $S_n = \frac{c_1(q^n - 1)}{q - 1}$:
$S_6 = \frac{5\sqrt{5}((\sqrt{5})^6 - 1)}{\sqrt{5} - 1}$
Сначала вычислим $(\sqrt{5})^6 = ((\sqrt{5})^2)^3 = 5^3 = 125$.
$S_6 = \frac{5\sqrt{5}(125 - 1)}{\sqrt{5} - 1} = \frac{5\sqrt{5} \cdot 124}{\sqrt{5} - 1} = \frac{620\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 1}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{5} + 1)$:
$S_6 = \frac{620\sqrt{5}(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{620\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} + 620\sqrt{5} \cdot 1}{(\sqrt{5})^2 - 1^2}$
$S_6 = \frac{620 \cdot 5 + 620\sqrt{5}}{5 - 1} = \frac{3100 + 620\sqrt{5}}{4}$
$S_6 = \frac{3100}{4} + \frac{620\sqrt{5}}{4} = 775 + 155\sqrt{5}$

Ответ: $775 + 155\sqrt{5}$