Номер 871, страница 239 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

871. Найдите сумму $n$ первых членов геометрической прогрессии $(b_n)$ со знаменателем $q$, если:

1) $b_1 = 1, q = 2, n = 9;$

2) $b_1 = 15, q = \frac{2}{3}, n = 3;$

3) $b_1 = 18, q = -\frac{1}{3}, n = 5;$

4) $b_1 = 4, q = -\sqrt{2}, n = 4.$

Для нахождения суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии ($S_n$) используется формула: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ (при $q \neq 1$).

1) Дано: $b_1 = 1$, $q = 2$, $n = 9$.
Подставим данные значения в формулу суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии:
$S_9 = \frac{b_1(q^9 - 1)}{q - 1} = \frac{1 \cdot (2^9 - 1)}{2 - 1} = \frac{512 - 1}{1} = 511$.
Ответ: 511

2) Дано: $b_1 = 15$, $q = \frac{2}{3}$, $n = 3$.
В данном случае, когда знаменатель $|q| < 1$, удобнее использовать эквивалентную формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.
Подставим значения:
$S_3 = \frac{15 \cdot (1 - (\frac{2}{3})^3)}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{15 \cdot (1 - \frac{8}{27})}{ \frac{1}{3} } = \frac{15 \cdot \frac{27-8}{27}}{\frac{1}{3}} = \frac{15 \cdot \frac{19}{27}}{\frac{1}{3}}$.
Для деления на дробь, умножим на обратную ей:
$S_3 = 15 \cdot \frac{19}{27} \cdot 3 = \frac{15 \cdot 19}{9} = \frac{(3 \cdot 5) \cdot 19}{3 \cdot 3} = \frac{5 \cdot 19}{3} = \frac{95}{3}$.
Ответ: $\frac{95}{3}$

3) Дано: $b_1 = 18$, $q = -\frac{1}{3}$, $n = 5$.
Используем формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.
Подставим значения:
$S_5 = \frac{18 \cdot (1 - (-\frac{1}{3})^5)}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{18 \cdot (1 - (-\frac{1}{243}))}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{18 \cdot (1 + \frac{1}{243})}{\frac{4}{3}} = \frac{18 \cdot \frac{244}{243}}{\frac{4}{3}}$.
Выполним умножение и сокращение дробей:
$S_5 = 18 \cdot \frac{244}{243} \cdot \frac{3}{4} = \frac{18 \cdot 3 \cdot 244}{243 \cdot 4} = \frac{54 \cdot 244}{972} = \frac{244}{18} = \frac{122}{9}$.
Ответ: $\frac{122}{9}$

4) Дано: $b_1 = 4$, $q = -\sqrt{2}$, $n = 4$.
Используем формулу $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Подставим значения:
$S_4 = \frac{4 \cdot ((-\sqrt{2})^4 - 1)}{-\sqrt{2} - 1}$.
Сначала вычислим числитель:
$(-\sqrt{2})^4 = ((\sqrt{2})^2)^2 = 2^2 = 4$.
$4 \cdot (4 - 1) = 4 \cdot 3 = 12$.
Теперь выражение для суммы выглядит так: $S_4 = \frac{12}{-\sqrt{2} - 1} = -\frac{12}{\sqrt{2} + 1}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(\sqrt{2} - 1)$:
$S_4 = -\frac{12 \cdot (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1) \cdot (\sqrt{2} - 1)} = -\frac{12(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = -\frac{12(\sqrt{2} - 1)}{2 - 1} = -\frac{12(\sqrt{2} - 1)}{1} = -12(\sqrt{2} - 1) = 12(1 - \sqrt{2})$.
Ответ: $12(1 - \sqrt{2})$