Номер 1, страница 239 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как найти сумму $n$ первых членов геометрической прогрессии со знаменателем, отличным от единицы?

1.

Сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии — это сумма вида $S_n = b_1 + b_2 + \dots + b_n$, где $(b_n)$ — геометрическая прогрессия. Чтобы найти формулу для вычисления этой суммы при условии, что знаменатель прогрессии $q$ не равен единице ($q \neq 1$), выполним следующие шаги.

1. Определим члены прогрессии.
Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Тогда любой член прогрессии можно выразить через $b_1$ и $q$ по формуле $b_k = b_1 \cdot q^{k-1}$.

2. Запишем сумму.
Сумма $n$ первых членов прогрессии $S_n$ запишется так:
$S_n = b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-2} + b_1q^{n-1}$

3. Вывод формулы.
Для вывода формулы используем следующий приём: умножим обе части записанного выше равенства на знаменатель $q$:
$S_n \cdot q = (b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-1}) \cdot q$
$S_n \cdot q = b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 + \dots + b_1q^{n-1} + b_1q^n$

Теперь у нас есть два уравнения:
1) $S_n = b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-1}$
2) $S_n \cdot q = b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 + \dots + b_1q^n$

Вычтем из второго уравнения первое:
$S_n \cdot q - S_n = (b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^n) - (b_1 + b_1q + \dots + b_1q^{n-1})$

После вычитания большинство слагаемых в правой части взаимно уничтожатся:
$S_n \cdot q - S_n = b_1q^n - b_1$

Вынесем $S_n$ в левой части и $b_1$ в правой части за скобки:
$S_n(q - 1) = b_1(q^n - 1)$

Поскольку по условию задачи знаменатель $q$ отличен от единицы ($q \neq 1$), то выражение $(q-1)$ не равно нулю, и мы можем разделить на него обе части уравнения:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Это и есть искомая формула. Для её использования необходимо знать первый член прогрессии $b_1$, её знаменатель $q$ и количество суммируемых членов $n$.

Эту формулу также можно записать в виде $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$, умножив числитель и знаменатель на $-1$. Этот вариант удобнее использовать, когда $|q| < 1$.

Ответ: Сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1$ и знаменателем $q \neq 1$ находится по формуле: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.