Номер 866, страница 237 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

866. Преобразуйте в дробь выражение:

1) $ \frac{2}{x+y} + \frac{3}{x-y}; $

2) $ \frac{a+1}{a-4} + \frac{a-1}{a-6}; $

3) $ \frac{c-7}{c+1} - \frac{c-3}{c-5}. $

1) Чтобы сложить дроби $ \frac{2}{x+y} $ и $ \frac{3}{x-y} $, нужно привести их к общему знаменателю. В данном случае общий знаменатель — это произведение знаменателей исходных дробей: $ (x+y)(x-y) $, что по формуле разности квадратов равно $ x^2 - y^2 $.

Дополнительный множитель для первой дроби $ \frac{2}{x+y} $ равен $ (x-y) $. Дополнительный множитель для второй дроби $ \frac{3}{x-y} $ равен $ (x+y) $.

Выполним преобразование:

$ \frac{2}{x+y} + \frac{3}{x-y} = \frac{2 \cdot (x-y)}{(x+y)(x-y)} + \frac{3 \cdot (x+y)}{(x+y)(x-y)} $

Теперь можно сложить числители, оставив общий знаменатель без изменений:

$ \frac{2(x-y) + 3(x+y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{2x - 2y + 3x + 3y}{x^2 - y^2} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(2x+3x) + (-2y+3y)}{x^2 - y^2} = \frac{5x+y}{x^2 - y^2} $

Ответ: $ \frac{5x+y}{x^2 - y^2} $

2) Для сложения дробей $ \frac{a+1}{a-4} $ и $ \frac{a-1}{a-6} $ найдем общий знаменатель, который равен $ (a-4)(a-6) $.

Дополнительный множитель для первой дроби — $ (a-6) $, для второй — $ (a-4) $.

$ \frac{a+1}{a-4} + \frac{a-1}{a-6} = \frac{(a+1)(a-6)}{(a-4)(a-6)} + \frac{(a-1)(a-4)}{(a-4)(a-6)} $

Сложим числители и раскроем скобки:

$ \frac{(a+1)(a-6) + (a-1)(a-4)}{(a-4)(a-6)} = \frac{(a^2 - 6a + a - 6) + (a^2 - 4a - a + 4)}{(a-4)(a-6)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{a^2 - 5a - 6 + a^2 - 5a + 4}{(a-4)(a-6)} = \frac{(a^2+a^2) + (-5a-5a) + (-6+4)}{(a-4)(a-6)} = \frac{2a^2 - 10a - 2}{(a-4)(a-6)} $

Ответ: $ \frac{2a^2 - 10a - 2}{(a-4)(a-6)} $

3) Для вычитания дробей $ \frac{c-7}{c+1} $ и $ \frac{c-3}{c-5} $ приведем их к общему знаменателю $ (c+1)(c-5) $.

Дополнительный множитель для первой дроби — $ (c-5) $, для второй — $ (c+1) $.

$ \frac{c-7}{c+1} - \frac{c-3}{c-5} = \frac{(c-7)(c-5)}{(c+1)(c-5)} - \frac{(c-3)(c+1)}{(c+1)(c-5)} $

Выполним вычитание числителей. Важно помнить, что знак минус перед второй дробью относится ко всему ее числителю.

$ \frac{(c-7)(c-5) - (c-3)(c+1)}{(c+1)(c-5)} = \frac{(c^2 - 5c - 7c + 35) - (c^2 + c - 3c - 3)}{(c+1)(c-5)} $

Упростим выражения в скобках и раскроем их:

$ \frac{(c^2 - 12c + 35) - (c^2 - 2c - 3)}{(c+1)(c-5)} = \frac{c^2 - 12c + 35 - c^2 + 2c + 3}{(c+1)(c-5)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(c^2 - c^2) + (-12c + 2c) + (35 + 3)}{(c+1)(c-5)} = \frac{-10c + 38}{(c+1)(c-5)} $

Ответ: $ \frac{38 - 10c}{(c+1)(c-5)} $