Страница 237 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

862. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 30. Если из первого числа вычесть 5, из второго вычесть 4, а третье оставить без изменений, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите данные числа.

Пусть три числа, образующие арифметическую прогрессию, это $a_1, a_2, a_3$. Для удобства решения обозначим средний член прогрессии как $a$, а её разность как $d$. Тогда члены прогрессии можно записать в виде:
$a_1 = a - d$
$a_2 = a$
$a_3 = a + d$

По первому условию, сумма этих трёх чисел равна 30. Составим и решим уравнение:
$(a - d) + a + (a + d) = 30$
$3a = 30$
$a = 10$

Таким образом, второй член арифметической прогрессии равен 10. Теперь исходные числа можно представить как $10 - d$, $10$ и $10 + d$.

Далее, по второму условию, если из первого числа вычесть 5, из второго вычесть 4, а третье оставить без изменений, то новые числа $b_1, b_2, b_3$ образуют геометрическую прогрессию:
$b_1 = a_1 - 5 = (10 - d) - 5 = 5 - d$
$b_2 = a_2 - 4 = 10 - 4 = 6$
$b_3 = a_3 = 10 + d$

Основное свойство геометрической прогрессии гласит, что квадрат её среднего члена равен произведению соседних членов: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$. Подставим наши значения в это равенство:
$6^2 = (5 - d)(10 + d)$
$36 = 50 + 5d - 10d - d^2$
$36 = 50 - 5d - d^2$

Приведём уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:
$d^2 + 5d + 36 - 50 = 0$
$d^2 + 5d - 14 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его можно разложить на множители, найдя два числа, которые в произведении дают -14, а в сумме +5. Это числа 7 и -2.
$(d + 7)(d - 2) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для разности прогрессии: $d_1 = -7$ и $d_2 = 2$.

Мы получили два возможных значения для разности $d$, а значит, существует два набора искомых чисел.
1. При $d = 2$ исходные числа равны:
$a_1 = 10 - 2 = 8$, $a_2 = 10$, $a_3 = 10 + 2 = 12$.
Это набор чисел 8, 10, 12.
2. При $d = -7$ исходные числа равны:
$a_1 = 10 - (-7) = 17$, $a_2 = 10$, $a_3 = 10 + (-7) = 3$.
Это набор чисел 17, 10, 3.

Оба набора чисел удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: 8, 10, 12 или 17, 10, 3.

863. Сумма трёх чисел, образующих геометрическую прогрессию, равна 65. Если из первого из этих чисел вычесть 1, из третьего вычесть 19, а второе оставить без изменений, то полученные числа образуют арифметическую прогрессию. Найдите данные числа.

Пусть три числа, образующие геометрическую прогрессию, это $b_1$, $b_2$ и $b_3$. Обозначим их как $x$, $y$ и $z$.

По условию, эти числа образуют геометрическую прогрессию, следовательно, для них выполняется характеристическое свойство: квадрат среднего члена равен произведению крайних членов.
$y^2 = xz$

Также по условию, сумма этих трёх чисел равна 65:
$x + y + z = 65$

Далее, из первого числа вычитают 1, второе оставляют без изменений, а из третьего вычитают 19. Получаем новую последовательность чисел:
$(x-1)$, $y$, $(z-19)$

Эта новая последовательность образует арифметическую прогрессию. Для неё выполняется характеристическое свойство: средний член равен среднему арифметическому крайних членов.
$y = \frac{(x-1) + (z-19)}{2}$

Упростим это уравнение:
$2y = x - 1 + z - 19$
$2y = x + z - 20$
Отсюда можно выразить сумму $x+z$:
$x + z = 2y + 20$

Теперь у нас есть система уравнений:
1) $x + y + z = 65$
2) $x + z = 2y + 20$
3) $y^2 = xz$

Подставим выражение для $(x+z)$ из второго уравнения в первое:
$(2y + 20) + y = 65$
$3y + 20 = 65$
$3y = 45$
$y = 15$

Мы нашли второй член прогрессии. Теперь найдем $x$ и $z$. Подставим значение $y=15$ в первое и третье уравнения системы:
Из $x + y + z = 65$:
$x + 15 + z = 65 \implies x + z = 50$
Из $y^2 = xz$:
$15^2 = xz \implies xz = 225$

Теперь нам нужно найти два числа, $x$ и $z$, зная их сумму (50) и произведение (225). Согласно теореме Виета, эти числа являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+z)t + xz = 0$:
$t^2 - 50t + 225 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 225 = 2500 - 900 = 1600$
$\sqrt{D} = 40$

Корни уравнения:
$t_1 = \frac{50 + 40}{2} = \frac{90}{2} = 45$
$t_2 = \frac{50 - 40}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Таким образом, числа $x$ и $z$ равны 5 и 45.

Это дает нам два возможных набора исходных чисел, в зависимости от порядка:
1. Первая прогрессия: 5, 15, 45 (знаменатель прогрессии $q = 15/5 = 3$).
2. Вторая прогрессия: 45, 15, 5 (знаменатель прогрессии $q = 15/45 = 1/3$).

Проверим оба случая:
1. Для чисел 5, 15, 45: сумма $5+15+45=65$. Новые числа: $(5-1), 15, (45-19)$, то есть 4, 15, 26. Это арифметическая прогрессия с разностью $d=11$. Условие выполняется.
2. Для чисел 45, 15, 5: сумма $45+15+5=65$. Новые числа: $(45-1), 15, (5-19)$, то есть 44, 15, -14. Это арифметическая прогрессия с разностью $d=-29$. Условие также выполняется.

Оба набора состоят из одних и тех же чисел.

Ответ: Искомые числа – 5, 15, 45.

864. Сумма трёх чисел, образующих геометрическую прогрессию, равна 26. Если к этим числам прибавить соответственно 1, 6 и 3, то полученные числа образуют арифметическую прогрессию. Найдите данные числа.

Пусть три числа, образующие геометрическую прогрессию, это $b_1$, $b_2$ и $b_3$. Обозначим первый член прогрессии как $b_1$, а знаменатель как $q$. Тогда эти числа можно записать в виде: $b_1$, $b_1q$, $b_1q^2$.

По первому условию задачи, сумма этих трёх чисел равна 26:

$b_1 + b_1q + b_1q^2 = 26$

Вынесем $b_1$ за скобки:

$b_1(1 + q + q^2) = 26$ (1)

По второму условию, если к этим числам прибавить соответственно 1, 6 и 3, то полученные числа образуют арифметическую прогрессию. Новые числа будут:

$a_1 = b_1 + 1$

$a_2 = b_1q + 6$

$a_3 = b_1q^2 + 3$

Для любой арифметической прогрессии справедливо свойство: каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов. То есть, $2a_2 = a_1 + a_3$. Подставим наши выражения:

$2(b_1q + 6) = (b_1 + 1) + (b_1q^2 + 3)$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$2b_1q + 12 = b_1 + b_1q^2 + 4$

$12 - 4 = b_1 + b_1q^2 - 2b_1q$

$8 = b_1(1 - 2q + q^2)$

$8 = b_1(q-1)^2$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными, $b_1$ и $q$:

$\begin{cases} b_1(1 + q + q^2) = 26 \\ b_1(q-1)^2 = 8 \end{cases}$

Заметим, что $q \neq 1$, иначе второе уравнение превратилось бы в $0 = 8$, что неверно. Выразим $b_1$ из второго уравнения:

$b_1 = \frac{8}{(q-1)^2}$

Подставим это выражение для $b_1$ в первое уравнение:

$\frac{8}{(q-1)^2}(1 + q + q^2) = 26$

Разделим обе части на 2:

$\frac{4(1 + q + q^2)}{(q-1)^2} = 13$

$4(1 + q + q^2) = 13(q-1)^2$

$4 + 4q + 4q^2 = 13(q^2 - 2q + 1)$

$4 + 4q + 4q^2 = 13q^2 - 26q + 13$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$13q^2 - 4q^2 - 26q - 4q + 13 - 4 = 0$

$9q^2 - 30q + 9 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$3q^2 - 10q + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

Корни уравнения:

$q_1 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$q_2 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Теперь найдем соответствующее значение $b_1$ для каждого значения $q$.

Случай 1: $q = 3$

$b_1 = \frac{8}{(3-1)^2} = \frac{8}{2^2} = \frac{8}{4} = 2$

Тогда искомые числа:

$b_1 = 2$

$b_2 = b_1q = 2 \cdot 3 = 6$

$b_3 = b_1q^2 = 2 \cdot 3^2 = 18$

Получили числа: 2, 6, 18.

Случай 2: $q = \frac{1}{3}$

$b_1 = \frac{8}{(\frac{1}{3}-1)^2} = \frac{8}{(-\frac{2}{3})^2} = \frac{8}{\frac{4}{9}} = 8 \cdot \frac{9}{4} = 18$

Тогда искомые числа:

$b_1 = 18$

$b_2 = b_1q = 18 \cdot \frac{1}{3} = 6$

$b_3 = b_1q^2 = 18 \cdot (\frac{1}{3})^2 = 2$

Получили числа: 18, 6, 2.

Оба набора чисел удовлетворяют условию задачи. Проверим первый набор: 2, 6, 18. Сумма $2+6+18=26$. После прибавления 1, 6, 3 получаем числа $2+1=3$, $6+6=12$, $18+3=21$. Числа 3, 12, 21 образуют арифметическую прогрессию с разностью 9.

Ответ: искомые числа – это 2, 6, 18 или 18, 6, 2.

865. Найдите значение выражения:

1) $\frac{7^9}{7^{10}}$

2) $\frac{125^3}{25^4}$

3) $\frac{32^5}{64^4}$

4) $\frac{39^8}{3^{10} \cdot 13^7}$

1) Для нахождения значения выражения воспользуемся свойством частного степеней с одинаковым основанием. Согласно этому свойству, при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, а основание остается прежним. Формула выглядит так: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Применим эту формулу к данному выражению:

$\frac{7^9}{7^{10}} = 7^{9-10} = 7^{-1}$

Далее используем определение степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$7^{-1} = \frac{1}{7^1} = \frac{1}{7}$.

Ответ: $\frac{1}{7}$.

2) В данном выражении основания степеней (125 и 25) разные, но их можно привести к одному общему основанию — числу 5, так как $125 = 5^3$ и $25 = 5^2$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{125^3}{25^4} = \frac{(5^3)^3}{(5^2)^4}$

Теперь воспользуемся свойством возведения степени в степень, согласно которому показатели степеней перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$\frac{5^{3 \cdot 3}}{5^{2 \cdot 4}} = \frac{5^9}{5^8}$

Далее, как и в первом примере, применим свойство деления степеней с одинаковым основанием:

$5^{9-8} = 5^1 = 5$.

Ответ: 5.

3) Аналогично предыдущему примеру, приведем основания 32 и 64 к общему основанию. Оба числа являются степенями числа 2: $32 = 2^5$ и $64 = 2^6$.

Подставим эти представления в исходное выражение:

$\frac{32^5}{64^4} = \frac{(2^5)^5}{(2^6)^4}$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\frac{2^{5 \cdot 5}}{2^{6 \cdot 4}} = \frac{2^{25}}{2^{24}}$

Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{25-24} = 2^1 = 2$.

Ответ: 2.

4) В этом выражении необходимо упростить числитель. Разложим число 39 на простые множители: $39 = 3 \cdot 13$.

Подставим разложение в исходное выражение:

$\frac{39^8}{3^{10} \cdot 13^7} = \frac{(3 \cdot 13)^8}{3^{10} \cdot 13^7}$

Воспользуемся свойством степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$\frac{3^8 \cdot 13^8}{3^{10} \cdot 13^7}$

Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим к ним свойство деления степеней:

$(\frac{3^8}{3^{10}}) \cdot (\frac{13^8}{13^7}) = 3^{8-10} \cdot 13^{8-7} = 3^{-2} \cdot 13^1$

Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получим:

$\frac{1}{3^2} \cdot 13 = \frac{1}{9} \cdot 13 = \frac{13}{9}$.

Ответ: $\frac{13}{9}$.

866. Преобразуйте в дробь выражение:

1) $ \frac{2}{x+y} + \frac{3}{x-y}; $

2) $ \frac{a+1}{a-4} + \frac{a-1}{a-6}; $

3) $ \frac{c-7}{c+1} - \frac{c-3}{c-5}. $

1) Чтобы сложить дроби $ \frac{2}{x+y} $ и $ \frac{3}{x-y} $, нужно привести их к общему знаменателю. В данном случае общий знаменатель — это произведение знаменателей исходных дробей: $ (x+y)(x-y) $, что по формуле разности квадратов равно $ x^2 - y^2 $.

Дополнительный множитель для первой дроби $ \frac{2}{x+y} $ равен $ (x-y) $. Дополнительный множитель для второй дроби $ \frac{3}{x-y} $ равен $ (x+y) $.

Выполним преобразование:

$ \frac{2}{x+y} + \frac{3}{x-y} = \frac{2 \cdot (x-y)}{(x+y)(x-y)} + \frac{3 \cdot (x+y)}{(x+y)(x-y)} $

Теперь можно сложить числители, оставив общий знаменатель без изменений:

$ \frac{2(x-y) + 3(x+y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{2x - 2y + 3x + 3y}{x^2 - y^2} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(2x+3x) + (-2y+3y)}{x^2 - y^2} = \frac{5x+y}{x^2 - y^2} $

Ответ: $ \frac{5x+y}{x^2 - y^2} $

2) Для сложения дробей $ \frac{a+1}{a-4} $ и $ \frac{a-1}{a-6} $ найдем общий знаменатель, который равен $ (a-4)(a-6) $.

Дополнительный множитель для первой дроби — $ (a-6) $, для второй — $ (a-4) $.

$ \frac{a+1}{a-4} + \frac{a-1}{a-6} = \frac{(a+1)(a-6)}{(a-4)(a-6)} + \frac{(a-1)(a-4)}{(a-4)(a-6)} $

Сложим числители и раскроем скобки:

$ \frac{(a+1)(a-6) + (a-1)(a-4)}{(a-4)(a-6)} = \frac{(a^2 - 6a + a - 6) + (a^2 - 4a - a + 4)}{(a-4)(a-6)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{a^2 - 5a - 6 + a^2 - 5a + 4}{(a-4)(a-6)} = \frac{(a^2+a^2) + (-5a-5a) + (-6+4)}{(a-4)(a-6)} = \frac{2a^2 - 10a - 2}{(a-4)(a-6)} $

Ответ: $ \frac{2a^2 - 10a - 2}{(a-4)(a-6)} $

3) Для вычитания дробей $ \frac{c-7}{c+1} $ и $ \frac{c-3}{c-5} $ приведем их к общему знаменателю $ (c+1)(c-5) $.

Дополнительный множитель для первой дроби — $ (c-5) $, для второй — $ (c+1) $.

$ \frac{c-7}{c+1} - \frac{c-3}{c-5} = \frac{(c-7)(c-5)}{(c+1)(c-5)} - \frac{(c-3)(c+1)}{(c+1)(c-5)} $

Выполним вычитание числителей. Важно помнить, что знак минус перед второй дробью относится ко всему ее числителю.

$ \frac{(c-7)(c-5) - (c-3)(c+1)}{(c+1)(c-5)} = \frac{(c^2 - 5c - 7c + 35) - (c^2 + c - 3c - 3)}{(c+1)(c-5)} $

Упростим выражения в скобках и раскроем их:

$ \frac{(c^2 - 12c + 35) - (c^2 - 2c - 3)}{(c+1)(c-5)} = \frac{c^2 - 12c + 35 - c^2 + 2c + 3}{(c+1)(c-5)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(c^2 - c^2) + (-12c + 2c) + (35 + 3)}{(c+1)(c-5)} = \frac{-10c + 38}{(c+1)(c-5)} $

Ответ: $ \frac{38 - 10c}{(c+1)(c-5)} $

867. Докажите тождество:

$\left( \frac{2b}{b^3+1} : \frac{1-b}{b^2-b+1} + \frac{2}{b-1} \right) \cdot \frac{b^2-2b+1}{4} : \frac{b-1}{b+1} = \frac{1}{2}.$

Чтобы доказать тождество, необходимо упростить его левую часть и показать, что она равна правой. Будем выполнять преобразования по действиям.

Левая часть тождества: $ \left( \frac{2b}{b^3 + 1} : \frac{1-b}{b^2 - b + 1} + \frac{2}{b-1} \right) \cdot \frac{b^2 - 2b + 1}{4} : \frac{b-1}{b+1} $

1. Выполним действия в скобках.

Первым действием в скобках является деление. Используем формулу суммы кубов $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) $ для знаменателя первой дроби:

$ \frac{2b}{b^3 + 1} : \frac{1-b}{b^2 - b + 1} = \frac{2b}{(b+1)(b^2 - b + 1)} \cdot \frac{b^2 - b + 1}{1-b} $

Сокращаем общий множитель $ (b^2 - b + 1) $:

$ \frac{2b}{b+1} \cdot \frac{1}{1-b} = \frac{2b}{(b+1)(1-b)} $

Теперь выполним сложение. Для этого представим $ 1-b $ как $ -(b-1) $:

$ \frac{2b}{(b+1)(1-b)} + \frac{2}{b-1} = \frac{2b}{-(b+1)(b-1)} + \frac{2}{b-1} = -\frac{2b}{(b+1)(b-1)} + \frac{2}{b-1} $

Приводим дроби к общему знаменателю $ (b+1)(b-1) $:

$ \frac{-2b}{(b+1)(b-1)} + \frac{2(b+1)}{(b+1)(b-1)} = \frac{-2b + 2b + 2}{(b+1)(b-1)} = \frac{2}{(b+1)(b-1)} $

Результат выражения в скобках равен $ \frac{2}{b^2 - 1} $.

2. Выполним оставшиеся действия умножения и деления.

Подставим полученный результат в выражение:

$ \frac{2}{b^2 - 1} \cdot \frac{b^2 - 2b + 1}{4} : \frac{b-1}{b+1} $

Сначала выполним умножение. Используем формулы сокращенного умножения: $ b^2 - 2b + 1 = (b-1)^2 $ и $ b^2 - 1 = (b-1)(b+1) $.

$ \frac{2}{(b-1)(b+1)} \cdot \frac{(b-1)^2}{4} $

Сокращаем общие множители: 2 и 4 на 2, и $ (b-1) $:

$ \frac{1}{(b+1)} \cdot \frac{b-1}{2} = \frac{b-1}{2(b+1)} $

Теперь выполним деление:

$ \frac{b-1}{2(b+1)} : \frac{b-1}{b+1} = \frac{b-1}{2(b+1)} \cdot \frac{b+1}{b-1} $

Сокращаем $ (b-1) $ в числителе и знаменателе, и $ (b+1) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} $

В результате упрощения левой части мы получили $ \frac{1}{2} $, что равно правой части исходного выражения. Следовательно, тождество верно для всех допустимых значений переменной $ b $ (где $ b \neq 1 $ и $ b \neq -1 $).

Ответ: Тождество доказано.

868. Докажите, что значение выражения является рациональным числом:

1) $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{\sqrt{10}+9}-3} - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{\sqrt{10}+9}+3}$

2) $\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} + \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}$

1) Чтобы доказать, что значение выражения является рациональным числом, необходимо его упростить. Для этого приведем дроби к общему знаменателю, который равен произведению их знаменателей: $(\sqrt{\sqrt{10}+9}-3)(\sqrt{\sqrt{10}+9}+3)$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a = \sqrt{\sqrt{10}+9}$ и $b=3$:

$(\sqrt{\sqrt{10}+9}-3)(\sqrt{\sqrt{10}+9}+3) = (\sqrt{\sqrt{10}+9})^2 - 3^2 = (\sqrt{10}+9) - 9 = \sqrt{10}$

Теперь преобразуем исходное выражение, приведя его к общему знаменателю:

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{\sqrt{10}+9}-3} - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{\sqrt{10}+9}+3} = \frac{\sqrt{10}(\sqrt{\sqrt{10}+9}+3) - \sqrt{10}(\sqrt{\sqrt{10}+9}-3)}{\sqrt{10}}$

Упростим числитель, раскрыв скобки:

$\sqrt{10}(\sqrt{\sqrt{10}+9}+3) - \sqrt{10}(\sqrt{\sqrt{10}+9}-3) = \sqrt{10}[(\sqrt{\sqrt{10}+9}+3) - (\sqrt{\sqrt{10}+9}-3)] = \sqrt{10}[\sqrt{\sqrt{10}+9}+3 - \sqrt{\sqrt{10}+9}+3] = \sqrt{10} \cdot (3+3) = 6\sqrt{10}$

Подставим полученные значения числителя и знаменателя в дробь:

$\frac{6\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = 6$

В результате мы получили число 6, которое является рациональным (так как его можно представить в виде дроби $6/1$). Следовательно, значение выражения является рациональным числом.

Ответ: 6.

2) Для доказательства того, что значение выражения является рациональным числом, упростим его. Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})$.

Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:

$(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5}) = 2^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 - 5 = -1$

Теперь приведем всё выражение к общему знаменателю:

$\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} + \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} = \frac{(2-\sqrt{5})(2-\sqrt{5}) + (2+\sqrt{5})(2+\sqrt{5})}{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})} = \frac{(2-\sqrt{5})^2 + (2+\sqrt{5})^2}{-1}$

Упростим числитель, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:

$(2-\sqrt{5})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 4 - 4\sqrt{5} + 5 = 9 - 4\sqrt{5}$

$(2+\sqrt{5})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 4 + 4\sqrt{5} + 5 = 9 + 4\sqrt{5}$

Сложим полученные выражения в числителе:

$(9 - 4\sqrt{5}) + (9 + 4\sqrt{5}) = 9 + 9 - 4\sqrt{5} + 4\sqrt{5} = 18$

Подставим значение числителя в итоговую дробь:

$\frac{18}{-1} = -18$

В результате мы получили число -18, которое является рациональным (так как его можно представить в виде дроби $-18/1$). Следовательно, значение выражения является рациональным числом.

Ответ: -18.

869. Трое работников выкопали картошку за 3 дня, работая ежедневно по 8 ч. За сколько дней её выкопают 6 работников, работая ежедневно по 6 ч, если производительность труда всех работников одинакова?

Для решения задачи сначала определим общий объем работы, который необходимо выполнить. Объем работы можно измерить в человеко-часах. Он равен произведению количества работников на количество дней и на количество часов, отработанных каждым работником в день.

В исходных условиях работали 3 работника в течение 3 дней по 8 часов ежедневно. Вычислим общий объем работы $A$:
$A = 3 \text{ работника} \times 3 \text{ дня} \times 8 \text{ часов/день} = 72 \text{ человеко-часа}$

Далее, нам нужно найти, за сколько дней $d$ этот же объем работы (72 человеко-часа) выполнят 6 работников, работая по 6 часов в день. Составим уравнение, используя те же самые зависимости:
$A = 6 \text{ работников} \times d \text{ дней} \times 6 \text{ часов/день}$

Поскольку объем работы $A$ тот же, приравниваем его к найденному значению:
$6 \times d \times 6 = 72$
$36 \times d = 72$

Теперь решим уравнение относительно $d$:
$d = \frac{72}{36}$
$d = 2$

Следовательно, 6 работникам, работающим по 6 часов в день, потребуется 2 дня.

Ответ: 2 дня.